Braided monoidal category

Symmetric monoidal category \((\bm {C},\otimes )\) では, 自然な同型 \[ c : X\otimes Y \rarrow {\cong } Y\otimes X \] があり, \(c\circ c = 1\) をみたす。

つまり, 成分を入れ替える functor \[ t : \bm {C}\times \bm {C} \longrightarrow \bm {C}\times \bm {C} \] と \(\otimes \) の合成と \(\otimes \) の間の natural transformation \[ c : \otimes \longrightarrow \otimes \circ t \] があり, \(c\circ c = 1\) を含めたある条件をみたす。この \(c\circ c = 1\) 以外の条件をみたすものを braided monoidal category という。Joyal と Street により [JS93] で定義された。 対称群を互換 \((i,i+1)\) で生成された群と考えたときに, その関係式から \((i,i+1)^{2}=1\) という関係式を取り除いてできる群が braid group であることから braided monoidal category という名前が付いているのだ, と思う。

Coboundary category も合わせた解説として Savage の [Sav09] がある。 基本的なことを知るには, Etingof らの tensor category に関する本 [Eti+15] の Chapter 8 を読むのがよいかもしれない。

• monoidal category における braiding の定義
• braided monoidal category は object \(1\)つ, \(1\)-morphism \(1\)つの \(3\)-category である。

Etingof らの本の §8.24 は braided \(G\)-crossed category に関するものであるが, Jones, Penneys, Reutter の [JPR23] では, object \(1\)つ, \(1\)-morphism が群 \(G\) になっている \(3\)-category が, braided \(G\)-crossed category であることが示されている。

• braided \(G\)-crossed category あるいは \(G\)-crossed braided category

Braided monoidal category, あるいは braided tensor category は, 量子群の表現などでよく使われる。 関連して 数理物理などでも使われているようである。 Zhang の本 [Zha] が arXiv から入手できるが, ここには braided tensor category での Hopf algebra について色々書いてある。

この手の braided monoidal category の中には, Drinfel\('\)d center を取ることにより monoidal category から得られたものもある。

• monoidal category の Drinfel\('\)d center は braided monoidal category

例えば, Agore と Caenepeel と Militaru の [ACM] に書かれているように, \(k\)-algebra \(A\) 上の noncommutative descent data の成す braided monoidal category は \(A\)-\(A\)-bimodule の成す monoidal category の center である。この category は他の記述もあることは, 彼らの[ACM12] に書かれている。

\(k\)-linear rigid monoidal Abelian category で, ある有限性の条件をみたすものを fusion category と呼ぶが, Drinfel\('\)d と Gelaki と Nikshych と Ostrik [Dri+10] は, braided monoidal category になっている fusion category, つまり braided fusion category の理論を構築しようとしている。

• braided fusion category

Joyal と Kock は, [JK07] で, braided monoidal category は strict monoidal \(2\)-category の weak unit の endomorphism category として現われることを示している。

Small braided monoidal category は, \(2\)重ループ空間と深い関係にある。 これは, monoidal category と\(1\)重ループ空間の関係の類似である。

• small braided monoidal category の nerve の group completion は\(2\)重ループ空間になる

これは, Fiedorowicz の未出版の論文 “The symmetric bar construction” で証明されている。 Fiedorowicz のホームページから PostScript ファイルが download できる。 それによると, このことに最初に気づいたのは Stasheff らしいが。

Braid群 をより一般の Coxeter群に付随する Artin群に変えたものも定義されている。 Appel と Toredano Laredo [AT19] による。

• braided Coxeter category

Vertex operator algebra などの複雑な代数的対象の上の module 達の tensor product の理論を考える際には, braiding よりも複雑な構造が必要になる。 そこで Huang と Lepowsky は, [HL94] で vertex tensor category という概念を定義している。そこには, vertex tensor category から braided tensor category の構造を読み取るにはどうすればよいかも書いてある。

• vertex tensor category
• vertex tensor category の構造から braided tensor category を与える tensor product を作ることができる

Braiding に少し条件を付け, symmetric monoidal category に近づけたものを考えることもある。また braided monoidal category に更に構造を入れることにより symmetric monoidal category との中間を考えることもある。

Panaite と Staic と van Oystaeyen は [PSV10] で pseudosymmetric braided monoidal category を定義した。Braided monoidal category と symmetric monoidal category の間に位置するものであり, braid群 を pure braid group の交換子群で割った群に対応する。Etingof と Gelaki は, [EG08] で quasisymmetric tensor category というものを定義している。

• pseudosymmetric braided monoidal category
• quasisymmetric tensor category

Panaite と Staic と van Oystaeyen の pseudosymmetric braided monoidal category は, Hopf algebra の研究の中で現われた twine などの categorical structure を扱うために導入されたようである。 Panaite と Staic と van Oystaeyen の論文では, twine の他にも様々な monoidal category の上の “braiding” が考えられている。

• twine
• strong twine
• pure-braiding
• double braiding
• laycle (lazy cocycle)

Joyal と Street [JS93] は, braided monoidal category に twisting という構造を追加することを考えた。そのような構造を持つものを balanced monoidal category と呼んでいる。これも braided monoidal category と symmetric monoidal category の中間に位置するものと考えられる。更に, duality を持つものを tortile monoidal category と呼んでいる。

• balanced monoidal category
• tortile monoidal category [Shu94]

Lyubashenko の [Lyu95] のように, tortile monoidal category は ribbon category と呼ばれることも多い。

Joyal と Street と Verity [JSV96] は, balanced monoidal category での trace を考え traced monoidal category の概念を得た。

• traced monoidal category

Half-balanced structure を考えている人 [Enr] もいる。 Grothendieck-Teichmüller group などに関係したことが motivation のようである。

一般化としては, Davydov と Runkel [DR15] の b-category というものもある。

• b-category

Monoidal category の高次化として monooidal bicategory という構造があるが, その braided 版も考えられている。 最初に Kapranov と Voevodsky [KV94], その後 Baez と Neuchl [BN96], Crans [Cra98] で考えられている。

Stay [Sta16] によると sylleptic monoidal bicategory や symmetric monoidal bicategry も含んだ最も一般的な定義は McCrudden の [McC00] を見るのが良さそうである。

• braided mooidal bicategory
• sylleptic monoidal bicategory
• symmetric monoidal bicategory

References

[ACM]

A. L. Agore, S. Caenepeel, and G. Militaru. The uniqueness of braidings on the monoidal category of non-commutative descent data. arXiv: 1210.8052.

[ACM12]

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[AT19]

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[PSV10]

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[Zha]

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