Grothendieck-Teichmuller Theory

Grothendieck-Teichmüller theory とは, Drinfel\('\)d により [Dri90] で考えられたもので, Enriquez と Fursho [EF12] によると, その motivation は KZ differential system の monodromy に関連した Hopf algebra を quantize することだったらしい。

Grothendieck による absolute Galois group \(\mathrm {Gal}(\overline {\Q }/\Q )\) の Teichmüller tower への作用を記述するための approachと関係しているため, このような名前が付いているようである。

• Grothendieck-Teichmüller group.

代数的トポロジーの人は, Kitchloo と Morava の [KM18] の Appendix をまず読むとよいと思う。ホモトピー論の視点から書かれていて, またホモトピー論的な類似についても書かれている。Horel の [Hor17] の Introduction も分かりやすい。 Merkulov の [Mer21] は self-contained に書かれているので, ここから始めてもよいかもしれない。

Kitchloo と Morava の論文の Appendix では, トポロジーとの関連として, まず braid 群, よって litte disks operad との関係が書いてある。 Grothendieck-Teichmüller group の little disks operad の chain operad への作用は, Petersen [Pet14] により, little disks operad の formality の新しい証明の中で使われている。

• Grothendieck-Teichmüller group は little disks operad の chain operad へ作用する。 ([Bar98; Tam03])

この作用についての解説として, Petersen は Merkulov の lecture note と Fresseの本 [Fre17a; Fre17b] を挙げているが, Merkulov の lecture note は現在は入手できないようである。 Merkulov の最近の survey としては, [Mer21] があるが。

もちろん, Grothendieck-Teichmüller theory との関係としては, ホモトピー論以外の分野の方が良く知られていて, 詳しく研究されている。 例えば, 数論や低次元トポロジーなど。

Grothendieck-Teichmüller group が作用するものとして, Drinfel\('\)d [Dri90] が考えたのは, associator の成す集合である。

• Drinfel\('\)d associator

これについては, Bar-Natan の [Bar98] を見るとよい。

References

[Bar98]

Dror Bar-Natan. “On associators and the Grothendieck-Teichmuller group. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 4.2 (1998), pp. 183–212. arXiv: q- alg/9606021. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000290050029.

[Dri90]

V. G. Drinfel\('\)d. “On quasitriangular quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with \(\mathrm {Gal}(\overline {\mathbf {Q}}/{\mathbf {Q}})\)”. In: Algebra i Analiz 2.4 (1990), pp. 149–181.

[EF12]

Benjamin Enriquez and Hidekazu Furusho. “Mixed pentagon, octagon, and Broadhurst duality equations”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.4 (2012), pp. 982–995. arXiv: 1103 . 1188. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.10.009.

[Fre17a]

Benoit Fresse. Homotopy of operads and Grothendieck-Teichmüller groups. Part 1. Vol. 217. Mathematical Surveys and Monographs. The algebraic theory and its topological background. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017, pp. xlvi+532. isbn: 978-1-4704-3481-6.

[Fre17b]

Benoit Fresse. Homotopy of operads and Grothendieck-Teichmüller groups. Part 2. Vol. 217. Mathematical Surveys and Monographs. The applications of (rational) homotopy theory methods. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017, pp. xxxv+704. isbn: 978-1-4704-3482-3.

[Hor17]

Geoffroy Horel. “Profinite completion of operads and the Grothendieck-Teichmüller group”. In: Adv. Math. 321 (2017), pp. 326–390. arXiv: 1504.01605. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.09.030.

[KM18]

Nitu Kitchloo and Jack Morava. “The stable symplectic category and a conjecture of Kontsevich”. In: An alpine bouquet of algebraic topology. Vol. 708. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2018] ©2018, pp. 181–199. arXiv: 1212.6905. url: https://doi.org/10.1090/conm/708/14269.

[Mer21]

Sergei Merkulov. “Grothendieck-Teichmüller group, operads and graph complexes: a survey”. In: Integrability, quantization, and geometry II. Quantum theories and algebraic geometry. Vol. 103. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, [2021] ©2021, pp. 383–445. arXiv: 1904.13097.

[Pet14]

Dan Petersen. “Minimal models, GT-action and formality of the little disk operad”. In: Selecta Math. (N.S.) 20.3 (2014), pp. 817–822. arXiv: 1303.1448. url: https://doi.org/10.1007/s00029-013-0135-5.

[Tam03]

Dmitry E. Tamarkin. “Formality of chain operad of little discs”. In: Lett. Math. Phys. 66.1-2 (2003), pp. 65–72. arXiv: math/9809164. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:MATH.0000017651.12703.a1.