Braid Groups

Braid 群には様々な変種があるが, 最も古典的な braid (組紐) 群は, よく Artin の名が冠せられる。それは, braid 群の本格的な研究を始めたのが Emil Artin [Art25] だったからだろう。 ただし, Damiani が [Dam17] で指摘しているように, braid 群そのものは Hurwitz の論文 [Hur91] に既に登場している。 そこでは平面上の \(n\)点系の成す空間の monodromy, つまり \(\R ^2\) の互いに異なる \(n\) 点の configuration space の基本群として定義されている。 「組み紐の成す群」として考えたのは, 恐らく Artin が最初だろう。 代数的トポロジーの視点からは, Hurwitz のように \[ \mathrm {Br}_n = \pi _1(\mathrm {Conf}_{n}(\R ^2)/\Sigma _{n}) \] と定義するのがよいだろう。

Braid 群について初等的に解説した本としては, Hansen の [Han89] がある。Birman の [Bir74] が有名であるが。最近, Kassel と Turaev の本 [KT08] が出た。Rolfsen の解説 [Rol10] は, 基本的なことも書いてあるが, 最終的には braid 群の orderability を目指したもののようである。

• braid の基本
• braid 群の群論的性質

Braid 群は様々な分野と関係するが, 代数的トポロジーとの関係では, Fred Cohen の仕事 [CLM76] が出発点となっていると思う。 基本的なのは無限個の紐のなす braid 群の分類空間のホモトピー論的な group completion が \(\Omega ^2S^3\) とホモトピー同値であること \[ \Omega B\left (\coprod _{n} B\mathrm {Br}_n \right ) \simeq \Omega ^2 S^3 \] である。 関連した事実として, Richard Thompson の群 \(F\) のある部分群 \(F'\) の分類空間 が \(\Omega S^3\) とホモロジー同値であるということが Ghys とSergiescu [GS87] により証明されている。 その拡張として Greenberg と Sergiescu の構成 [GS91]がある。 彼等は, path-loop fibration \[ \Omega ^2S^3 \rarrow {} P\Omega S^3 \rarrow {} \Omega S^3 \] をホモロジーで実現する群拡大 \[ 1 \rarrow {} \mathrm {Br}_{\infty } \rarrow {} A \rarrow {} F' \rarrow {} 1 \] を構成している。

ここで球面が現れることから, braid 群と球面のホモトピー群の直接の関係が期待されるが, それについては, Berrick と F. Cohen と Wong と Wu による結果 [Ber+06] がある。 彼等は \(S^2\) のホモトピー群の braid 群による記述を得ている。\(S^3\) ではなく \(S^2\) なのは, James construction \(J(S^2)\simeq \Omega S^3\) を用いているからである。 その結果も含めた braid 群の解説として Vershinin の [Ver06] がある。

Braid 群は braid arrangement の複素化の complement を対称群の作用で割った空間の基本群とみなすことができる。 より一般の reflection arrangement に対しても, braid 群に対応する群が定義できる。 それらも含めた解説として, Paris の [Par09] がある。 Salvetti complex についても書いてある。

Mapping class group と見ることもできる。その方面からの解説としては, まずはやはり Birman の 本 [Bir74] を見るべきだろうか。

新しい見方としては, \(1\)個の元から成る体上の多項式環の general linear group というものがある。 neverendingbooks のこの post を参照のこと。

このように, braid 群は, 様々な分野に登場する興味深い対象である。 最近では暗号理論でも使われている [AAG99; Ko+00] ようである。

とにかく, braid 群について知っていて損はない。

• braid 群の一般化や関連した群
• braid 群の(局所係数)コホモロジー
• braid 群に関連した話題や応用

References

[AAG99]

Iris Anshel, Michael Anshel, and Dorian Goldfeld. “An algebraic method for public-key cryptography”. In: Math. Res. Lett. 6.3-4 (1999), pp. 287–291.

[Art25]

Emil Artin. “Theorie der Zöpfe”. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4.1 (1925), pp. 47–72. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02950718.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[Bir74]

Joan S. Birman. Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1974, pp. ix+228.

[CLM76]

Frederick R. Cohen, Thomas J. Lada, and J. Peter May. The homology of iterated loop spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 533. Berlin: Springer-Verlag, 1976, pp. vii+490.

[Dam17]

Celeste Damiani. “A journey through loop braid groups”. In: Expo. Math. 35.3 (2017), pp. 252–285. arXiv: 1605.02323. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2016.12.003.

[GS87]

Étienne Ghys and Vlad Sergiescu. “Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle”. In: Comment. Math. Helv. 62.2 (1987), pp. 185–239. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02564445.

[GS91]

Peter Greenberg and Vlad Sergiescu. “An acyclic extension of the braid group”. In: Comment. Math. Helv. 66.1 (1991), pp. 109–138. url: https://doi.org/10.1007/BF02566638.

[Han89]

Vagn Lundsgaard Hansen. Braids and coverings: selected topics. Vol. 18. London Mathematical Society Student Texts. With appendices by Lars Gæde and Hugh R. Morton. Cambridge University Press, Cambridge, 1989, pp. x+191. isbn: 0-521-38479-6. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511613098.

[Hur91]

A. Hurwitz. “Ueber Riemann’sche Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten”. In: Math. Ann. 39.1 (1891), pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01199469.

[Ko+00]

Ki Hyoung Ko et al. “New public-key cryptosystem using braid groups”. In: Advances in cryptology—CRYPTO 2000 (Santa Barbara, CA). Vol. 1880. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, Berlin, 2000, pp. 166–183. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-44598-6_10.

[KT08]

Christian Kassel and Vladimir Turaev. Braid groups. Vol. 247. Graduate Texts in Mathematics. With the graphical assistance of Olivier Dodane. New York: Springer, 2008, pp. xii+340. isbn: 978-0-387-33841-5. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68548-9.

[Par09]

Luis Paris. “Braid groups and Artin groups”. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II. Vol. 13. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2009, pp. 389–451. arXiv: 0711.2372. url: http://dx.doi.org/10.4171/055-1/12.

[Rol10]

Dale Rolfsen. “Tutorial on the braid groups”. In: Braids. Vol. 19. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2010, pp. 1–30. arXiv: 1010.4051.

[Ver06]

V. V. Vershinin. “Braids, their properties and generalizations”. In: Handbook of algebra. Vol. 4. Vol. 4. Handb. Algebr. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2006, pp. 427–465. arXiv: math / 0611712. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(06)80011-2.