Braid Arrangement とその変種

Braid群は, 複素平面 \(\bbC \) 上の互いに相異なる点の configuration space \(\mathrm{Conf}_{n}(\bbC )\) から \(\pi _1(\mathrm{Conf}_{n}(\bbC )/\Sigma _n))\) として得られる。

\(\R \) の configuration space \(\mathrm{Conf}_{n}(\R )\) は, \(\R ^n\) の hyperplane \[ H_{i,j} = \set{(x_1,\ldots , x_n)\in \R ^n}{x_i=x_j} \] 達の complement として表わされる \[ \mathrm{Conf}_{n}(\R ) = \R ^n \setminus \bigcup _{1\le i<j\le n} H_{i,j} \] が, \(\mathrm{Conf}_{n}(\bbC )\) はその複素化の complement として得られる。 \[ \mathrm{Conf}_{n}(\bbC ) = \bbC ^n \setminus \bigcup _{1\le i<j\le n} H_{i,j}\otimes \bbC \] そこで, \(H_{i,j}\) 達を集めてできる hyperplane arrangement \[ \mathcal{A}_{n-1} = \set{H_{i,j}}{1\le i<j\le n} \] を braid arrangement と呼ぶことにしよう。これは essential ではないので, 部分空間 \(x_1+\cdots +x_n=0\) に制限したものを考えるのが普通である。

この arrangement の subset として, simple graph に associate した arrangement が定義される。Oh と Postnikov と Yoo の [OPY08] では, その特別な場合について Schubert variety との関係が調べられていて興味深い。 更に, Miller と Wakefield の [MW12] にあるように, edge が色付けされた hypergraph に対しても braid arrangment に関係した subspace arrangement が定義される。

• graph や hypergraph からできる arrangement

Braid arrangement の subarrangement としては, 対称群の元に associate した inversion arrangement というものもある。

• inversion arrangement

Postnikov の [Pos] に登場したのが最初だろうか。最後の section に書いてある。Hultman の [Hul+09; Hul11] では, より一般の reflection arrangement の場合も考えられている。

Armstrong らの [Arm+09] によると, braid arrangement とマークの付いた種数 \(0\) の代数曲線の moduli space との関係に最初に気付いたのは, Kapranov [Kap93] らしい。その Coxeter group への一般化は, Davis と Januszkiewicz と Scott により考えられている [DJS98; DJS03] が, 対応する configuration space の具体的な構成は, Armstrong らの結果である。

F. Cohen と Kamiyama の [CK07] では, 複素平面の configuration space に更に重心が異なるという条件を加えたものが考えられているが, それは braid arrangement に超平面を付け加えてできた arrangement の complement である。Kamiya, Takemura,Terao らの [Kam+06; KTT10] などでは, その特別な場合である mid-hyperplane arrangement が調べられている。その motivation は, 数理心理学らしい。 また, 彼等はより一般に reflection arrangement にその reflection group の作用で閉じた arrangement を追加してできる arrangement を [KTT12] で考えている。

• mid-hyperplane arrangement や, より一般に “center of mass” arrangement
• restricted and unrestricted all-subsets arrangement
• signed all-subsets arrangement

Cohen と Kamiyama の論文にあるように, “center of mass” arrangement は, 球面の \(2\)重ループ空間と興味深い関係がある。

また原点を通らない超平面を付け加えたものとして, Shi arrangement がある。

• Shi arrangement と関連した話題

References

[Arm+09]

Suzanne M. Armstrong et al. “Particle configurations and Coxeter operads”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 83–109. arXiv: math/0502159.

[CK07]

F. R. Cohen and Y. Kamiyama. “Configurations and parallelograms associated to centers of mass”. In: Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology. Vol. 11. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 17–32. arXiv: math/0611732.

[DJS03]

M. Davis, T. Januszkiewicz, and R. Scott. “Fundamental groups of blow-ups”. In: Adv. Math. 177.1 (2003), pp. 115–179. arXiv: math/0203127. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(03)00075-6.

[DJS98]

M. Davis, T. Januszkiewicz, and R. Scott. “Nonpositive curvature of blow-ups”. In: Selecta Math. (N.S.) 4.4 (1998), pp. 491–547. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000290050039.

[Hul+09]

Axel Hultman, Svante Linusson, John Shareshian, and Jonas Sjöstrand. “From Bruhat intervals to intersection lattices and a conjecture of Postnikov”. In: J. Combin. Theory Ser. A 116.3 (2009), pp. 564–580. arXiv: 0710.1220. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2008.09.001.

[Hul11]

Axel Hultman. “Inversion arrangements and Bruhat intervals”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.7 (2011), pp. 1897–1906. arXiv: 1010.0515. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2011.04.005.

[Kam+06]

Hidehiko Kamiya, Peter Orlik, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Arrangements and ranking patterns”. In: Ann. Comb. 10.2 (2006), pp. 219–235. arXiv: math/0404343. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-006-0284-8.

[Kap93]

Mikhail M. Kapranov. “The permutoassociahedron, Mac Lane’s coherence theorem and asymptotic zones for the KZ equation”. In: J. Pure Appl. Algebra 85.2 (1993), pp. 119–142. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90049-Y.

[KTT10]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “The characteristic quasi-polynomials of the arrangements of root systems and mid-hyperplane arrangements”. In: Arrangements, local systems and singularities. Vol. 283. Progr. Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2010, pp. 177–190. arXiv: 0707.1381.

[KTT12]

Hidehiko Kamiya, Akimichi Takemura, and Hiroaki Terao. “Arrangements stable under the Coxeter groups”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 327–354. arXiv: 1103.5179. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_15.

[MW12]

Matthew S. Miller and Max Wakefield. “Edge colored hypergraphic arrangements”. In: Pure Appl. Math. Q. 8.3 (2012), pp. 757–779. arXiv: 0903.4221. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2012.v8.n3.a9.

[OPY08]

Suho Oh, Alexander Postnikov, and Hwanchul Yoo. “Bruhat order, smooth Schubert varieties, and hyperplane arrangements”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.7 (2008), pp. 1156–1166. arXiv: 0709.3259. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2008.01.003.

[Pos]

Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv: math/0609764.