Shi arrangement と関連した話題

Shi arrangement という, braid arrangement に 1 だけ平行移動した hyperplane を追加してできる hyperplane arrangement がある。 Hopkins と Perkinson [HP12] や Fishel と Tzanaki と Vazirani [FTV] によると, Shi の [Shi86] で, \(A\)型の affine Weyl group の Kazhdan-Lusztig cell を調べるために導入されたらしい。

Mészáros [Més] によると, type \(A_{n-1}\) の Shi arrangement の chamber の数が \((n+1)^{n-1}\) であることは, Shi [Shi86] が示した。その bijective proof が, Stanley の [Sta96; Sta98] や Athanasiadis と Linusson の[AL99] で得られている。 Stanley (とPak) のものは, parking function との対応を与えるものである。

もちろん, 他の root系への拡張も考えられている。 また, Stanley が [Sta98] で考えているように, 平行移動を繰り返した拡張もある。

• extended Shi arrangement

Yoshinaga [Yos04] は extended Shi arrangement の cone が free であることを示している。

他にも様々な拡張や変種が定義されている。 Drew Armstrong [Arm13] は, Ish arrangement という arrangement を導入している。 Hopkins と Perkinson [HP12] は, グラフ \(G\) に対し \(G\)-semiorder arrangement を導入し, Stanley と Pak による Shi arrangement とparking function の対応を拡張している。 Shi の半単純Lie環の Borel subalgebra の ideal に関する結果を拡張するために, Dong [Don] は \(I\)-deleted Shi arrangement という arrangement を導入している。

• Ish arrangement
• \(G\)-semiorder arrangement
• \(I\)-deleted Shi arrangement

Duarte と Guedes de Oliveira [DO] は Shi arrangement と Ish arrangement を含む arrangement の class を導入しているが, 名前はついていないようである。

References

[AL99]

Christos A. Athanasiadis and Svante Linusson. “A simple bijection for the regions of the Shi arrangement of hyperplanes”. In: Discrete Math. 204.1-3 (1999), pp. 27–39. arXiv: math/9702224. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X(98)00365-3.

[Arm13]

Drew Armstrong. “Hyperplane arrangements and diagonal harmonics”. In: J. Comb. 4.2 (2013), pp. 157–190. arXiv: 1005.1949. url: http://dx.doi.org/10.4310/JOC.2013.v4.n2.a2.

[DO]

Rui Duarte and António Guedes de Oliveira. Between Ish and Shi. arXiv: 1703.02509.

[Don]

Chao-Ping Dong. Ad-nilpotent ideals and The Shi arrangement. arXiv: 1205.6632.

[FTV]

Susanna Fishel, Eleni Tzanaki, and Monica Vazirani. Counting Shi regions with a fixed separating wall. arXiv: 1202.6648.

[HP12]

Sam Hopkins and David Perkinson. “Orientations, semiorders, arrangements, and parking functions”. In: Electron. J. Combin. 19.4 (2012), Paper 8, 31. arXiv: 1112.5421. url: https://doi.org/10.37236/2684.

[Més]

Karola Mészáros. Posets, parking functions and the regions of the Shi arrangement revisited. arXiv: 1106.3774.

[Shi86]

Jian Yi Shi. The Kazhdan-Lusztig cells in certain affine Weyl groups. Vol. 1179. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. x+307. isbn: 3-540-16439-1.

[Sta96]

Richard P. Stanley. “Hyperplane arrangements, interval orders, and trees”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 93.6 (1996), pp. 2620–2625.

[Sta98]

Richard P. Stanley. “Hyperplane arrangements, parking functions and tree inversions”. In: Mathematical essays in honor of Gian-Carlo Rota (Cambridge, MA, 1996). Vol. 161. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1998, pp. 359–375.

[Yos04]

Masahiko Yoshinaga. “Characterization of a free arrangement and conjecture of Edelman and Reiner”. In: Invent. Math. 157.2 (2004), pp. 449–454. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-004-0359-2.