グラフ

グラフとは, 頂点と辺を持ち, 二つの頂点が辺で結ばれているものであり, トポロジーの視点から見れば, 1次元の CW複体のことである。 様々なことに使われるので, 人によって異なる定義が使われていて, 意外と最も一般的な定義を見付けるのが難しい。

グラフに対する操作としては, 辺を潰す (edge contraction) のと取り除く (deletion) のが基本である。 もちろん, 他にも様々な操作が考えられている。

離散モース理論では, poset の Hasse diagram の上の partial matching が中心となる。他にもgraph を扱うときは, その上での matching を考えることは基本的である。

グラフに関する問題としては, 4色問題などの彩色問題は基本的である。

グラフは, 1次元のCW複体として考えるとそれほど興味深いものには思えないが, 組み合せ論的なデータを表わすのに重要である。例えば, Dynkin 図形もグラフの一種である。 また, 統計物理などで discrete model を構成するときには, グラフが使われることが多い。Lin と Lipper と Yau の [LLY12] など。

幾何学的構造を離散的に考える際にも使われる。例えば, Forman [For93] はグラフ上の line bundle を考えて, Kirchhoff の matrix-tree theorem の一般化を得ている。Kenyon [Ken11] は更にグラフ上の vector bundle を導入している。

  • グラフ上の vector bundle とその上の connection

グラフ (の幾何学的実現) の埋め込みを 結び目の一般化とみなして調べている人もいて, その視点からはトポロジーでも重要である。 またグラフからは様々な方法で 単体的複体が構成され, そのホモトピー型が活発に研究されていて, 代数的トポロジーの研究対象としても興味深い。

組み合せ論では, 辺や頂点に「色」や weight を付けたりしたものも考えるが, 辺に方向を付けたものが quiver (oriented graph, directed graph) である。

組み合せ論の中には, いわゆる, グラフ理論という分野があり, グラフのことを専門に調べているが, quivertree のように, 他分野で活発に研究されているものもある。 \(k\)-graph のように, 他分野の研究から生まれたグラフの一般化もある。

グラフ理論における未解決問題については, 次のサイトにまとめられている。

グラフ理論に関する問題に限らず, 未解決問題を集めようという趣旨のようであるが, 現在のところグラフ理論が中心になっている。

References

[For93]

Robin Forman. “Determinants of Laplacians on graphs”. In: Topology 32.1 (1993), pp. 35–46. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(93)90035-T.

[Ken11]

Richard Kenyon. “Spanning forests and the vector bundle Laplacian”. In: Ann. Probab. 39.5 (2011), pp. 1983–2017. arXiv: 1001.4028. url: https://doi.org/10.1214/10-AOP596.

[LLY12]

Yong Lin, Gábor Lippner, and Shing-Tung Yau. “Quantum tunneling on graphs”. In: Comm. Math. Phys. 311.1 (2012), pp. 113–132. arXiv: 1101.2660. url: https://doi.org/10.1007/s00220-012-1453-8.