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Bloch の [Blo13] によると, Morse theory の離散版を考えた人は何人かいるようである。 最も有名なのは, Forman
の CW複体上の Morse theory だろう。Bloch は, Banchoff の [Ban67; Ban70; Ban83] を挙げている。
この“discrete Cerf theory があるか”という Math Overflow の質問に対するコメントでは, Bestvina の [Bes08]
が挙げられている。
Bestvina は, それ以前に Brady と共に [BB97] で Morse theory の離散版を考えている。Appiah らの
[App+] では, PL Morse theory と呼ばれている。
Chen, Liu, Zhou の [CLZ] では, Ken Brown と Geoghegan の 群の有限表示性に関する論文 [BG84]
で, 同様のアイデアが使われていることが指摘されている。 その後, Ken Brown は [Bro92] で simplicial set に対する
Morse theory の類似を構築している。これは, Forman のものとほぼ同じものであり, Steinberg の [Ste] では,
Brown-Forman discrete Morse theory と呼ばれている。
- Brown-Forman discrete Morse theory
Forman のものは, 文献としては [For95; For98b; For98a; MY99] などがある。解説としては, Forman
自身による User’s Guide [For02] がある。Jonsson の graph からできる単体的複体の本 [Jon08] や Kozlov の本
[Koz08] にも解説が含まれている。
- discrete Morse function
- critical cell
- critical cell の数と Betti 数に関する Morse 不等式の類似
単体的複体や regular cell complex の場合には, その face poset で全て議論できる。例えば, 多様体の Morse
theory の gradient vector field に対応するのは, face poset の Hasse diagram 上の acyclic partial
matching である。また gradient flow に対応するのは, その acyclic partial matching の成す path
である。
Forman は, gradient flow に対応する path として, 余次元1の面の関係になっている alternating sequence
を考えたが, それでは条件が厳しすぎて, 多様体の Morse theory の真似をするのは難しい。そこで, Nanda と Tanaka との共著
[NTT18] で flow path という概念を導入した。
- Forman の gradient path
- flow path
Flow path が「正しい」gradient flow の類似であることは, Cohen-Jones-Segal の preprint [CJS]
の主定理の離散版が証明されていることで保証されている, と思っている。 Nanda による categorical な approach [Nan19]
もある。
多様体の Morse theory の場合には, Morse 関数が, ある transversality を満たすと,
ホモロジーがその多様体のホモロジーと同型になる chain complex が作れるが, discrete Morse theory でも同様の chain
complex が構成できる。Gallais は, その chain complex の combinatorial realization を [Gal10]
で与えている。
PL topology や 組み合せ論など様々な応用が考えられている。
自然な疑問は, 可微分多様体の Morse 理論との関係であるが, それについては, Gallais [Gal10] や Benedetti
[Ben16] らが調べている。
様々な variation も考えられている。
References
-
[App+]
-
B. Appiah et al. The algebraic structure of hyperbolic graph braid
groups. arXiv: 2403.08623.
-
[Ban67]
-
Thomas Banchoff. “Critical points and curvature for embedded
polyhedra”. In: J. Differential Geometry 1 (1967), pp. 245–256.
-
[Ban70]
-
T. F. Banchoff. “Critical points and curvature for embedded
polyhedral surfaces”. In: Amer. Math. Monthly 77 (1970),
pp. 475–485.
-
[Ban83]
-
Thomas F. Banchoff. “Critical points and curvature for embedded
polyhedra. II”. In: Differential geometry (College Park, Md.,
1981/1982). Vol. 32. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston,
1983, pp. 34–55.
-
[BB97]
-
Mladen Bestvina and Noel Brady. “Morse theory and finiteness
properties of groups”. In: Invent. Math. 129.3 (1997), pp. 445–470.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050168.
-
[Ben16]
-
Bruno Benedetti. “Smoothing discrete Morse theory”. In: Ann. Sc.
Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 16.2 (2016), pp. 335–368. arXiv:
1212.0885.
-
[Bes08]
-
Mladen Bestvina. “PL Morse theory”. In: Math. Commun. 13.2
(2008), pp. 149–162.
-
[BG84]
-
Kenneth S. Brown and Ross Geoghegan. “An infinite-dimensional
torsion-free \(\mathrm {FP}_{\infty }\) group”. In: Invent. Math. 77.2 (1984), pp. 367–381. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01388451.
-
[Blo13]
-
Ethan D. Bloch. “Polyhedral representation of discrete Morse
functions”. In: Discrete Math. 313.12 (2013), pp. 1342–1348. arXiv:
1008.3724. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2013.02.020.
-
[Bro92]
-
Kenneth S. Brown. “The geometry of rewriting systems: a proof of
the Anick-Groves-Squier theorem”. In: Algorithms and classification
in combinatorial group theory (Berkeley, CA, 1989). Vol. 23. Math.
Sci. Res. Inst. Publ. New York: Springer, 1992, pp. 137–163. url:
http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-9730-4_6.
-
[CJS]
-
R. L. Cohen,
J.D.S. Jones, and G. B. Segal. Morse theory and classifying spaces.
preprint. url: http://math.stanford.edu/~ralph/morse.ps.
-
[CLZ]
-
Jun Chen, Yuming Liu, and Guodong Zhou. Algebraic Morse Theory
via Homological Perturbation Lemma with Two Applications. url:
http://math0.bnu.edu.cn/~liuym/paper/Chen-Liu-Zhou.pdf.
-
[For02]
-
Robin Forman. “A user’s guide to discrete Morse theory”. In: Sém.
Lothar. Combin. 48 (2002), Art. B48c, 35.
-
[For95]
-
Robin Forman. “A discrete Morse theory for cell complexes”. In:
Geometry, topology, & physics. Conf. Proc. Lecture Notes Geom.
Topology, IV. Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 112–125.
-
[For98a]
-
Robin Forman. “Morse
theory for cell complexes”. In: Adv. Math. 134.1 (1998), pp. 90–145.
url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1650.
-
[For98b]
-
Robin Forman. “Witten-Morse
theory for cell complexes”. In: Topology 37.5 (1998), pp. 945–979.
url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00071-2.
-
[Gal10]
-
Étienne Gallais. “Combinatorial realization of the Thom-Smale
complex via discrete Morse theory”. In: Ann. Sc. Norm. Super. Pisa
Cl. Sci. (5) 9.2 (2010), pp. 229–252. arXiv: 0803.2616.
-
[Jon08]
-
Jakob Jonsson. Simplicial complexes of graphs. Vol. 1928. Lecture
Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2008, pp. xiv+378.
isbn: 978-3-540-75858-7. url:
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-75859-4.
-
[Koz08]
-
Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic
topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics.
Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url:
https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.
-
[MY99]
-
Varghese Mathai and Stuart G. Yates. “Discrete Morse theory and
extended \(L^{2}\) homology”. In: J. Funct. Anal. 168.1 (1999), pp. 84–110.
url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3439.
-
[Nan19]
-
Vidit Nanda. “Discrete Morse theory and localization”. In: J. Pure
Appl. Algebra 223.2 (2019), pp. 459–488. arXiv: 1510.01907. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.04.001.
-
[NTT18]
-
Vidit
Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and
classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv:
1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.
-
[Ste]
-
Benjamin Steinberg. Contractibility of the orbit space of the
\(p\)-subgroup complex via Brown-Forman discrete Morse theory. arXiv:
2303.07882.
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