Generalizatioins and Variations of Discrete Morse Theory

Forman による discrete Morse theory では, discrete Morse funciton や gradient flow の定義がとても簡単であるにもかかわらず, 驚く程多様体の Morse theory との類似が成り立つ。 多様体の Morse theory には, 様々な一般化や変種が開発されているが, ほとんどの場合に discrete Morse theory でのそれらに対応するものが存在するのは, 驚くべきことだと思う。

Forman 自身は, Witten の [Wit82] の類似を [For98] で考えている。 Novikov による Morse \(1\)-form に関する Morse theory の類似も [For02] で考えている。

• discrete Morse-Witten theory
• discrete Morse-Novikov theory

Cohen-Jones-Segal Morse theory の精密化, つまり topological category の分類空間として homotopy type を復元できるということも, discrete Morse theory に一般化できる。 Nanda と Tanaka との共著 [NTT18] で証明した。

• discrete Cohen-Jones-Segal Morse theory

似たようなことを, Vaupel と Hermansen と Trygsland [VHT] が考えていて, 最後の section で [NTT18] の結果と密接な関係がありそうだと言っている。

Forman の discrete Morse theory の特徴の一つは, face poset 上の acyclic partial matching で全て記述できることであり, よって poset の Morse theory と考えることができる。当然 acyclic category に一般化しようという試みがあってしかるべきであるが, 実際 Lipinski らの [LMP] で考えられている。

\(L^2\)-Betti 数に対しても, Mathai と Yates により discrete Morse theory の類似がある。

• \(L^2\)-discrete Morse theory [MY99]

この Mathai と Yates の論文では, 無限個の cell を持つ CW complex に discrete Morse theory を拡張することが考えられている。別の方向からの discrete Morse theory の無限次元版としては, Kukiela が [Kuk] や [Kuk13] で考えているものがある。

境界を持つ多様体に対する Morse theory の一般化があるが, その discrete version を Benedetti [Ben12] が考えている。

Goresky と MacPherson の stratified Morse theory の discrete 版は, Knudson と Wang の [KW18] で考えられている。

• discrete stratified Morse theory

Freij [Fre09] による equivariant version もある。 また quotient stack を用いて, より幅広い状況に適用できるようにしたものたものとして, Yerolemou と Nanda の [YN] がある。

• equivariant discrete Morse theory

多様体上の力学系の研究は Morse theory の一般化と考えられるが, その discrete 版も, 何人もの人により考えられている。

Nicolaescu [Nic10] は discrete Morse theory を tame space (\(o\)-minimal structure を持つ空間) 上の tame flow の理論の一部としてとらえ, tame flow の理論を展開している。

Eidi と Jost [EJ] は discrete Morse-Smale flow を定義し, 調べている。

もちろん, 多様体の Morse theory に対応すものがない, discrete Morse theory に独特の一般化もある。

Bauer と Edelsbrunner の [BE17] で使われている “generalized discrete Morse theory” では, 2つの cell の face poset の中での interval が matched pair の代わりに使われている。

別の方向では, quiver [LWY21] や hypergraph [Ren+] への一般化もある。

ホモロジー代数での類似もある。 Kozlov の本 [Koz08] では, algebraic Morse theory と呼ばれている。

• algebraic Morse theory

Discrete Morse theory は, 計算機による計算にも使われるが, その立場から random discrete Morse theory という変種が Benedetti と Lutz [BL14] により導入されている。

• random discrete Morse theory

References

[BE17]

Ulrich Bauer and Herbert Edelsbrunner. “The Morse theory of Čech and Delaunay complexes”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 369.5 (2017), pp. 3741–3762. arXiv: 1312 . 1231. url: https://doi.org/10.1090/tran/6991.

[Ben12]

Bruno Benedetti. “Discrete Morse theory for manifolds with boundary”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.12 (2012), pp. 6631–6670. arXiv: 1007.3175. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05614-5.

[BL14]

Bruno Benedetti and Frank H. Lutz. “Random discrete Morse theory and a new library of triangulations”. In: Exp. Math. 23.1 (2014), pp. 66–94. arXiv: 1303 . 6422. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2013.865281.

[EJ]

Marzieh Eidi and Jürgen Jost. Floer Homology: From Generalized Morse-Smale Dynamical Systems to Forman’s Combinatorial Vector Fields. arXiv: 2105.02567.

[For02]

Robin Forman. “Combinatorial Novikov-Morse theory”. In: Internat. J. Math. 13.4 (2002), pp. 333–368. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X02001265.

[For98]

Robin Forman. “Witten-Morse theory for cell complexes”. In: Topology 37.5 (1998), pp. 945–979. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00071-2.

[Fre09]

Ragnar Freij. “Equivariant discrete Morse theory”. In: Discrete Math. 309.12 (2009), pp. 3821–3829. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.10.029.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Kuk]

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[Kuk13]

Michał Kukieła. “The main theorem of discrete Morse theory for Morse matchings with finitely many rays”. In: Topology Appl. 160.9 (2013), pp. 1074–1082. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2013.04.025.

[KW18]

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[LMP]

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[LWY21]

Yong Lin, Chong Wang, and Shing-Tung Yau. “Discrete Morse theory on digraphs”. In: Pure Appl. Math. Q. 17.5 (2021), pp. 1711–1737. arXiv: 2102.10518. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2021.v17.n5.a4.

[MY99]

Varghese Mathai and Stuart G. Yates. “Discrete Morse theory and extended \(L^{2}\) homology”. In: J. Funct. Anal. 168.1 (1999), pp. 84–110. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3439.

[Nic10]

Liviu I. Nicolaescu. “Tame flows”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 208.980 (2010), pp. vi+130. arXiv: math / 0702424. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0065-9266-10-00602-2.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[Ren+]

Shiquan Ren, Chong Wang, Chengyuan Wu, and Jie Wu. On The Discrete Morse Functions for Hypergraphs. arXiv: 2108.02384.

[VHT]

Melvin Vaupel, Erik Hermansen, and Paul Trygsland. Section complexes of simplicial height functions. arXiv: 2201.12617.

[Wit82]

Edward Witten. “Supersymmetry and Morse theory”. In: J. Differential Geom. 17.4 (1982), 661–692 (1983). url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492.

[YN]

Naya Yerolemou and Vidit Nanda. Morse Theory for Complexes of Groups. arXiv: 2203.00539.