Stratified spaceのMorse 理論

Stratified space の Morse理論は, Goresky と MacPherson [GM88] により開発されたものだと思っていたが, Cho と Marelli の [CM] よると, 他にも様々な人が考えていたようである。 Lazzeri の [Laz73] や Pignoni の [Pig79] など。この Goresky と MacPherson の本は当然基本的な文献であるが, survey として Massey の [Mas06] がある。

Goresky と MacPherson が考えていることから, そして通常のMorse理論との類似から, まず基本的で重要なのは, intersection (co)homology との関係だろう。

• intersection (co)homology

Cho と Marelli は, complex analytic manifold に対しては, gradient vector field の類似が存在することを証明している。

通常の Morse theory には Forman による discrete 版があるが, stratified Morse theory の discrete 版が, Knudson と Wang の [KW18] で考えられている。

References

[CM]

Cheol-Hyun Cho and Giovanni Marelli. Gradient-like vector fields on a complex analytic variety. arXiv: 0908.1862.

[GM88]

Mark Goresky and Robert MacPherson. Stratified Morse theory. Vol. 14. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xiv+272. isbn: 3-540-17300-5. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7.

[KW18]

Kevin Knudson and Bei Wang. “Discrete stratified Morse theory: a user’s guide”. In: 34th International Symposium on Computational Geometry. Vol. 99. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2018, Art. No. 54, 14. arXiv: 1801.03183.

[Laz73]

Fulvio Lazzeri. “Morse theory on singular spaces”. In: Singularités à Cargèse (Rencontre Singularités Géom. Anal., Inst. Études Sci., Cargèse, 1972). Soc. Math. France, Paris, 1973, 263–268. Astérisque, Nos. 7 et 8.

[Mas06]

David B. Massey. “Stratified Morse theory: past and present”. In: Pure Appl. Math. Q. 2.4, part 2 (2006), pp. 1053–1084.

[Pig79]

Roberto Pignoni. “Density and stability of Morse functions on a stratified space”. In: Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 6.4 (1979), pp. 593–608. url: http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1979_4_6_4_593_0.