Stratified Space

Stratified space と呼ばれるものは, 色々ある。

古典的には, 特異点を持つ多様体や代数多様体の, 特異点を持たない部分の 分割を stratification と呼んでいた, と思う。 ただ, この stratification という言葉を, 誰が最初に使い始めたのかは, よく知らない。

現在では, poset による stratification の定義が一般的である。 例えば, Lurie の本 [Lur] や, その影響を受けた factorization homology の研究 [AFT17b; AFT17a] などでは, 次の定義が用いられている。

一般論を展開するだけなら, この単純な定義でよいが, 実際には, いくつかの条件を追加したい。 例えば, [Tam18] で CW complex の一般化の cellular stratified space を導入したときには, \(\pi \) が open map であり, 各 stratum が locally closed という条件を付けた。 その理由については, Yokura の [Yok20] を見るとよい。 また, それ以外の条件については, Tanaka との共著 [TT19] にまとめた。

特異点論などで使われてきた stratified space と poset stratified space の正確な関係について, Waas と Woolf と Yokura [WWY] が調べている。

また, 特異点論のように, 幾何学的対象に対する stratification を考える際には, 各 stratum が, 多様体 などの構造を持っていて欲しい。 そのようなものとして, 以下のようなものがある。

• cellular stratified space
• Whitney stratification
• Thom-Mather stratification ([Tho69; Mat73])
• stratified pseudomanifold
• Witt space
• locally conelike stratified space
• homotopically stratified space ([Qui88])
• P-manifold (piecewise manifold) [Laf07]
• stratifold ([Web])

Locally conelike stratified space とは, 多面体の類似らしい。

Pseudomanifold は, 組み合せ論の対象としても研究されている。 例えば, Björner と Vorwerk の [BV15] では Barnette の [Bar82] や Athanasiadis の [Ath11] が参照されている。彼等は, pseudomanifold の \(1\)-skeleton の成す グラフの性質を調べている。 凸多面体のグラフの研究の一般化という位置付けである。

Valette [Val14] は, 境界を持つ pseudomanifold として \(\partial \)-pseudomanifold というものを定義している。

Stratifold というのは, manifold の一般化として Kreck により導入された概念らしい。 Kreck の website にあるPDFファイルをまず読むべきだろう。

String theorist [GH88b; GH88a] は, conifold というものを考えていたりする。そして string homology [Hüb92] という intersection homology に類似したものも考えている。

• conifold

Conifold については, Mezzo と Montcouquiol の [MM11] に説明がある。 そこでは, stratified space について, Pflaum の [Pfl01] が参照されている。

Whitney stratification や stratified pseudomanifold については, Kirwan の intersection homology 入門の本 [Kir88] の解説が分りやすい。より詳しくは, Goresky と MacPherson の [GM88] の Part I Chapter 1 に解説がある。この Goresky と MacPherson の本は, stratified space のMorse理論についての本である。

• stratified space の Morse 理論

このように, 通常の多様体の理論を stratified space に一般化しようという試みは, 色々行なわれている。例えば \(K\)-homology と elliptic operator の関係については, Savin らによる一連の研究 [Sav05; NSS; NSS07] がある。 指数定理についても [NSS09] で考えている。

Whitney stratification を持つ空間の例として, 実および複素代数多様体, より一般に semi-algebraic set や subanalytic space などが重要である。例えば, Cho と Marelli は [CM] で, complex analytic variety の場合には, Morse 関数に対し, 通常の Morse theory の gradient vector field に類似のものが定義できることを示している。

この種の空間を調べるときによく使われるのが, constructible function や constructible sheaf, そしてconstructible stack などであるが, 一般の stratified space で, それらの概念を使わない理由はない。例えば Treumann の [Tre09] など。Schürmann の本 [Sch03] もある。

• constructible function
• constructible sheaf

Riemann-Hilbert correspondence を stratified space 上の constructible sheaf に一般化するためには, exit-path category を用いる。 Lurie [Lur] は, conically stratified space の exit-path category が quasicategory になることを示しているので, この手のことを考えるときには conically stratified space であることを仮定すべきだろう。

• conically stratified space
• exit-path category
• conically smooth stratified space [AFT17b]

他には, topological groupoid を使うという方法もある。Debord と Lescure [DL05; DL09] が stratified pseudomanifold の \(K\)-theory における Poincaré duality を考えるために使っている。

境界を持つ多様体 は, 2段階の stratification を持つ stratified space であるが, あまり stratified space と認識して扱われていないような気がする。 角付き多様体やその一般化を考えるときには, stratified space として考えることが必要になるが。

• 境界を持つ多様体や角付き多様体

実ベクトル空間の hyperplane arrangement による分割も stratification の重要な例であるが, その場合, それぞれの stratum が disk と同相な空間の disjoint union になっている。 その点では 胞体複体と似ているが, 特性写像の定義域が閉円板ではなく, その境界の一部が欠けたものである点が異なっている。 そのようなものを [Tam18] で cellular stratification と名付けてみた。

このように, stratified space を cell complex の一般化とみなし, その組み合せ論的構造を考えることも行なわれるようになってきた。上記の hyperplane arrangement や その変種以外では, 例えば, Ehrenborgと Goreskyと Readdyの [EGR15] などがある。

Madsen と Weiss の論文 [MW07] の appendix には, stratified space と homotopy colimit の関係が簡単に述べてある。

群作用と stratified space の関係は2つある。1つは, 群 \(G\) が多様体 \(M\) に作用するとき商空間 \(M/G\) に定まる stratification であり, もう1つは, \(G\) の作用と compatible な stratification である。

• stratification and group action

ホモトピー論では, mapping cylinder は popular な操作であるが, geometric topology ではあまり使われない。多様体の間の写像の mapping cylinder は, 普通多様体にはならないからである。つまり特異点を持つ多様体ができる。

• stratified space の間の写像 \(f : X \to Y\) が stratum を保つとき, \(f\) の mapping cylinder の stratification

三角圏を sccheme 上の (quasi-)coherent sheaf の成す圏の derived category の一般化とみなす視点もあるが, 最近では dg category や stable \(\infty \)-category のような enhanced triangulated category を scheme の一般化とみなすことも一般的になってきた。

そのような視点から stable \(\infty \)-category の poset による stratification を考えることも行なわれている。Glasman の [Gla] や Ayala, Mazel-Gee, Rozenblyum の [AMR] など。

• stratification of stable \(\infty \)-category

References

[AFT17a]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Factorization homology of stratified spaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.1 (2017), pp. 293–362. arXiv: 1409.0848. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-016-0242-1.

[AFT17b]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Local structures on stratified spaces”. In: Adv. Math. 307 (2017), pp. 903–1028. arXiv: 1409.0501. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2016.11.032.

[AMR]

David Ayala, Aaron Mazel-Gee, and Nick Rozenblyum. Stratified noncommutative geometry. arXiv: 1910.14602.

[Ath11]

Christos A. Athanasiadis. “Some combinatorial properties of flag simplicial pseudomanifolds and spheres”. In: Ark. Mat. 49.1 (2011), pp. 17–29. arXiv: 0807.4369. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11512-009-0106-4.

[Bar82]

David Barnette. “Decompositions of homology manifolds and their graphs”. In: Israel J. Math. 41.3 (1982), pp. 203–212. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02771721.

[BV15]

Anders Björner and Kathrin Vorwerk. “On the connectivity of manifold graphs”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 143.10 (2015), pp. 4123–4132. arXiv: 1207.5381. url: https://doi.org/10.1090/proc/12415.

[CM]

Cheol-Hyun Cho and Giovanni Marelli. Gradient-like vector fields on a complex analytic variety. arXiv: 0908.1862.

[DL05]

Claire Debord and Jean-Marie Lescure. “\(K\)-duality for pseudomanifolds with isolated singularities”. In: J. Funct. Anal. 219.1 (2005), pp. 109–133. arXiv: math/0212120. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.03.017.

[DL09]

Claire Debord and Jean-Marie Lescure. “\(K\)-duality for stratified pseudomanifolds”. In: Geom. Topol. 13.1 (2009), pp. 49–86. arXiv: 0801.3597. url: https://doi.org/10.2140/gt.2009.13.49.

[EGR15]

Richard Ehrenborg, Mark Goresky, and Margaret Readdy. “Euler flag enumeration of Whitney stratified spaces”. In: Adv. Math. 268 (2015), pp. 85–128. arXiv: 1201.3377. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.09.008.

[GH88a]

Paul S. Green and Tristan Hübsch. “Connecting moduli spaces of Calabi-Yau threefolds”. In: Comm. Math. Phys. 119.3 (1988), pp. 431–441. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104162497.

[GH88b]

Paul S. Green and Tristan Hübsch. “Possible phase transitions among Calabi-Yau compactifications”. In: Phys. Rev. Lett. 61.10 (1988), pp. 1163–1166. url: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.61.1163.

[Gla]

Saul Glasman. Stratified categories, geometric fixed points and a generalized Arone-Ching theorem. arXiv: 1507.01976.

[GM88]

Mark Goresky and Robert MacPherson. Stratified Morse theory. Vol. 14. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xiv+272. isbn: 3-540-17300-5. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-71714-7.

[Hüb92]

Tristan Hübsch. Calabi-Yau manifolds. A bestiary for physicists. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1992, p. xvi 362. isbn: 981-02-0662-3.

[Kir88]

Frances Kirwan. An introduction to intersection homology theory. Vol. 187. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1988, p. viii 169. isbn: 0-582-02879-5.

[Laf07]

Jean-François Lafont. “Rigidity of hyperbolic \(P\)-manifolds: a survey”. In: Geom. Dedicata 124 (2007), pp. 143–152. arXiv: math/0510259. url: https://doi.org/10.1007/s10711-007-9136-x.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Mat73]

John N. Mather. “Stratifications and mappings”. In: Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971). New York: Academic Press, 1973, pp. 195–232.

[MM11]

Rafe Mazzeo and Grégoire Montcouquiol. “Infinitesimal rigidity of cone-manifolds and the Stoker problem for hyperbolic and Euclidean polyhedra”. In: J. Differential Geom. 87.3 (2011), pp. 525–576. arXiv: 0908.2981. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1312998235.

[MW07]

Ib Madsen and Michael Weiss. “The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford’s conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 165.3 (2007), pp. 843–941. arXiv: math/0212321. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.165.843.

[NSS]

V. Nazaikinskii, A. Savin, and B. Sternin. Pseudodifferential Operators on Stratified Manifolds. arXiv: math/0512025.

[NSS07]

V. E. Nazaı̆kinskiı̆, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. “On the homotopy classification of elliptic operators on manifolds with corners”. In: Dokl. Akad. Nauk 413.1 (2007), pp. 16–19. arXiv: math/0608332. url: https://doi.org/10.1134/S1064562407020032.

[NSS09]

V. E. Nazaı̆kinskiı̆, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. “The Atiyah-Bott index on stratified manifolds”. In: Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 34 (2009), pp. 100–108. arXiv: 0711.4385. url: https://doi.org/10.1007/s10958-010-0081-0.

[Pfl01]

Markus J. Pflaum. Analytic and geometric study of stratified spaces. Vol. 1768. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2001, pp. viii+230. isbn: 3-540-42626-4.

[Qui88]

Frank Quinn. “Homotopically stratified sets”. In: J. Amer. Math. Soc. 1.2 (1988), pp. 441–499. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990924.

[Sav05]

Anton Savin. “Elliptic operators on manifolds with singularities and \(K\)-homology”. In: \(K\)-Theory 34.1 (2005), pp. 71–98. arXiv: math/0403335. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-005-1515-1.

[Sch03]

Jörg Schürmann. Topology of singular spaces and constructible sheaves. Vol. 63. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Basel: Birkhäuser Verlag, 2003, pp. x+452. isbn: 3-7643-2189-X.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.

[Tho69]

R. Thom. “Ensembles et morphismes stratifiés”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 240–284. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12138-5.

[Tre09]

David Treumann. “Exit paths and constructible stacks”. In: Compos. Math. 145.6 (2009), pp. 1504–1532. arXiv: 0708.0659. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X09004229.

[TT19]

Dai Tamaki and Hiro Lee Tanaka. “Stellar stratifications on classifying spaces”. In: Algebraic topology and related topics. Trends Math. Birkhäuser/Springer, Singapore, 2019, pp. 287–313. arXiv: 1804.11274. url: https://doi.org/10.1007/978-981-13-5742-8_15.

[Val14]

Guillaume Valette. “A Lefschetz duality for intersection homology”. In: Geom. Dedicata 169 (2014), pp. 283–299. arXiv: 1012.2695. url: https://doi.org/10.1007/s10711-013-9856-z.

[Web]

Julia Weber. Equivariant stratifold homology theories. arXiv: math/0606559.

[WWY]

Lukas Waas, Jon Woolf, and Shoji Yokura. On stratifications and poset-stratified spaces. arXiv: 2407.17690.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.