空間の分解

複雑な空間をより単純で小さな空間に分割して調べることは, 古くから行なわれてきた。 空間 \(X\) を分割するとは, 部分空間の族 \(\{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\) で \[ X = \bigcup _{\lambda \in \Lambda } X_{\lambda } \] となるものを見付けることであるが, その方法には大きく分けて covering と stratification の2種類がある。

前者は, \(X_{\lambda }\) 達が交わるような分割であり, 共通部分 \(X_{\lambda _{1}}\cap \cdots \cap X_{\lambda _{k}}\) を用いて, \(X_{\lambda }\) 達がどのように組み合さっているかを調べ, 元の \(X\) に関する情報を復元する。 この手の話題で有名なのは, nerve theorem である。

• 被覆と弱位相

一方, 後者のアプローチでは, \(X_{\lambda }\) 達が互いに交わらないように分割する。 そして, 閉包 \(\overline {X_{\lambda }}\) に他の \(X_{\mu }\) 達がどのように含まれているかを調べる。

特異点論で導入された stratified space が有名であるが, 単体的複体や 胞体複体, そして 角付き多様体なども同様のアイデアに基いている。 また, 空間に filtration \(\cdots \subset X_{i}\subset X_{i+1}\subset \cdots \subset X\) が入っていると, \[ X = \bigcup _{i} (X_{i}\setminus X_{i-1}) \] という後者の意味の分割ができる。古い本では, このような分割を stratification と言っていたりする。

後者の流儀の空間の分割の一つの利点は, 写像 \[ \pi : X \rarrow {} \Lambda \] とみなすことができることである。 つまり, 分割が与えられたとき, \(x\in X_{\lambda }\) ならば \(\pi (x)=\lambda \) と定め, 逆に写像 \(\pi \) が与えられると, 分割 \[ X = \bigcup _{\lambda \in \Lambda } \pi ^{-1}(\lambda ) \] を得る。

このとき, \(\pi \) が連続になるように最低限の位相, すなわち, \(\pi \) による 等化位相を \(\Lambda \) に入れるのが, 自然に思える。 等化位相を \(\Lambda \) に入れたとき, \(\pi :X\to \Lambda \) を decomposition space と呼ぶが, その歴史については, Yokura の [Yok20] が詳しい。また, Kalmár の survey [Kal] もある。

• decomposition space

ただ, “decomposition space” という用語は, Gálvez-Carrillo らの [GKT18a; GKT18b; GKT18c] でも使われているので紛らわしい。 これは, Dyckerhoff と Kapranov [DK; DK19] の \(2\)-Segal space と同じものなので, Galvez-Carrillo らのものを \(2\)-Segal space と呼んで, このページのものを decomposition space と呼ぶのが良いと思う。

Yokura の論文よると, decomposition space は, 既に1925年に R.L. Moore [Moo25] により調べられ, upper semicontinuous や lower semicontinuous の概念が定義されている。

• upper semicontinuous decomposition space
• lower semicontinuous decomposition space

Moore やその後の Bing の研究 [Bin57b; Bin57a] による分割理論は, Freedman による \(4\) 次元 Poincaré 予想の証明 [Fre82] でも使われている。 Kalmár の survey では Ancel と Cannon [AC79] の5次元以上の多様体への余次元1の埋め込みの研究や Edwards の cell-like approximation theorem [Edw80] でも extensively に使われているようである。

一方, 特異点の研究では, \(\Lambda \) に 半順序が入っている場合を考える。 半順序からは, Alexandroff位相となる位相が定まるので, その位相で, \(\pi \) が連続であると要求する。更に, 各 stratum \(X_{\lambda }\) が smooth manifold や smooth algebraic variety になっていることも要求するが。

最近では, Andrade の学位論文 [And10] や Lurie の本 [Lur], そしてこれらの研究の影響を受けた, factorization homology の研究 [AFT17b; AFT17a] などのように, \(\Lambda \) が poset で \(\pi \) が連続であるということだけを要求したものを, stratified space あるいは poset stratified space と呼ぶのが普通である。

• stratified space

References

[AC79]

F. D. Ancel and J. W. Cannon. “The locally flat approximation of cell-like embedding relations”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 61–86. url: https://doi.org/10.2307/1971267.

[AFT17a]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Factorization homology of stratified spaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.1 (2017), pp. 293–362. arXiv: 1409.0848. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-016-0242-1.

[AFT17b]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Local structures on stratified spaces”. In: Adv. Math. 307 (2017), pp. 903–1028. arXiv: 1409.0501. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2016.11.032.

[And10]

Ricardo Andrade. From manifolds to invariants of \({E}_n\)-algebras. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2010, (no paging).

[Bin57a]

R. H. Bing. “A decomposition of \(E^{3}\) into points and tame arcs such that the decomposition space is topologically different from \(E^{3}\)”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 484–500.

[Bin57b]

R. H. Bing. “Upper semicontinuous decompositions of \(E^3\)”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 363–374. url: https://doi.org/10.2307/1969968.

[DK]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces I. arXiv: 1212.3563.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[Edw80]

Robert D. Edwards. “The topology of manifolds and cell-like maps”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978). Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980, pp. 111–127.

[Fre82]

Michael Hartley Freedman. “The topology of four-dimensional manifolds”. In: J. Differential Geom. 17.3 (1982), pp. 357–453. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437136.

[GKT18a]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion I: Basic theory”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 952–1015. arXiv: 1512.07573. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.016.

[GKT18b]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion II: Completeness, length filtration, and finiteness”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1242–1292. arXiv: 1512.07577. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.017.

[GKT18c]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion III: The decomposition space of Möbius intervals”. In: Adv. Math. 334 (2018), pp. 544–584. arXiv: 1512.07580. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.018.

[Kal]

Boldizsar Kalmár. Decomposition space theory. arXiv: 2103.02977.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Moo25]

R. L. Moore. “Concerning upper semi-continuous collections of continua”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 27.4 (1925), pp. 416–428. url: http://dx.doi.org/10.2307/1989234.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.