Factorization Homology or Topological Chiral Homology

2017年3月6日から9日の日程で, John Francis 氏を招いて factorization homology についての「春の学校」を開催した。

その最初の lecture で factorization homology が現れる (使われる) 話題として挙げられたのは, 以下のものだった。

1. associative algebra の Hochschild homology
2. conformal field theory [BD04]
3. perturbative quantum field theory [CG17]
4. bundles on algebraic curves over finite fields [GL19]
5. mapping spaces
6. extended topological quantum field theory

2番目の話題は, Beilinson と Drinfel\('\)d [BD04] の factorization algebra に関するものである。

• factorization algebra

3番目で参考文献として挙げられた Costello と Gwilliam の本は, factorization algebra に関するものである。 Gwilliam のページから download できる。 第2巻も, ここから download できる。

4番目は, geometric Langlands program に関係したことである。最近のものでは, Ho と Li によるもの [HL22] がある。

最後のものについては, Ayala と Francis の [AF] や Scheimbauer の Ph.D. thesis [Sch14] を見るとよい。

他の文献としては以下のものがある。

• Ginot の lecture note [Gin15]
• Ayala と Francis の primer [AF20]

一方, Lurieは [Lur09; Lur] で topological chiral homology を定義した。 Kupers と Miller の [KM18] によると, 他にも configuration space with summable labels という呼び方があるようである。

ここでは factorization homology と呼ぶことにしよう。

Markarian [Mar] は constant coefficient の場合の factorization homology を manifoldic homology と呼ぶことを提案してい るが定着するだろうか。その言葉は Kapranov によるらしいが。

Francis の [Fra13] や上記の Markarian に書かれているように, factorization homology は, まず Hochschild homology の \(E_n\)-algebra に対する一般化とみなすことができる。Francis の [Fra13] の §3.2 を見るとよい。Ginot と Tradler と Zeinalian [GTZ14] による比較もある。

Markarian は Dennis trace map を \(E_n\)-algebra に一般化するために用いている。

一般に, commutative ring spectrum \(R\) と \(n\)-fold loop map \(f:X\to B\GL _1(R)\) に対し Thom spectrum \(M(f)\) が定義されるが, Blumberg と Ralph Cohen と Schlichtkrull [BCS10] は, このようにして構成された Thom spectrum に対し, その topological Hochschild homology を調べている。 その一般化として, Klang [Kla18] が factorization homology を調べている。

一方, factorization homology は, 多様体の不変量でもある。Francis は [AF15] で Eilenberg-Steenrod による ordinary homology の公理の類似として, 多様体上の factorization homology の公理を与えている。ただし, ここでの Eilenberg-Steenrod の公理は, 有限CW複体のホモトピー型を持つ \((\infty ,1)\)-category から chain complex の成す \((\infty ,1)\)-category への functor に対するものであるが。

これらのことについては, まず Ginot の lecture note [Gin15] に目を通すのがよいように思う。

Markarian [Mar17] によると, Chern-Simons 不変量などを factorization homology を用いて定義することができるようである。

Ayala と Francis と Tanaka [AFT] は, singular manifold, あるいは stratified space への一般化を考えている。 まず, [AFT17b] でその対象となる stratified space の (\((\infty ,1)\)-)category を定義し, [AFT17a] でその factorization homology を調べている。 どうやら, intersection homology の一般化にもなっているようである。

Jeremy Miller [Mil] によると, topological chiral homology に対しては, Lurie による approach の他に, Andrade の thesis で使われた, two-sided bar construction を用いたものがあるようである。その Andrade の thesis は, [And] として arXiv に現われた。

Kupers と Miller [KM16; KM18] や Knudsen [Knu17] は, 配置空間のホモロジーへの応用を, Miller [Mil15] は, 写像空間への応用を考えている。

\((\infty ,1)\)-category ではなく model category を用いたものとしては, Horel の thesis (の一部) [Hor17] がある。

\((\infty ,n)\)-category を用いたものとして, Ayala, Francis, Rozenblyum の [AFR] がある。

Kong [Kon14] は, factorization homology と物性理論の Levin-Wen model との関係についての予想を立てている。 その後, Kong らは [AKZ17] で, braiding のような local observable を global observable に integrate するためには factorization homology が使える, と主張している。

\(C^{*}\)-algebra の枠組みで factorization homology を使う試みとして, Hataishi の [Hat] がある。

References

[AF]

David Ayala and John Francis. The cobordism hypothesis. arXiv: 1705.02240.

[AF15]

David Ayala and John Francis. “Factorization homology of topological manifolds”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 1045–1084. arXiv: 1206.5522. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtv028.

[AF20]

David Ayala and John Francis. “A factorization homology primer”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, [2020] ©2020, pp. 39–101. arXiv: 1903.10961.

[AFR]

David Ayala, John Francis, and Nick Rozenblyum. Factorization homology from higher categories. arXiv: 1504.04007.

[AFT]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. Structured singular manifolds and factorization homology. arXiv: 1206.5164.

[AFT17a]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Factorization homology of stratified spaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 23.1 (2017), pp. 293–362. arXiv: 1409.0848. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-016-0242-1.

[AFT17b]

David Ayala, John Francis, and Hiro Lee Tanaka. “Local structures on stratified spaces”. In: Adv. Math. 307 (2017), pp. 903–1028. arXiv: 1409.0501. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2016.11.032.

[AKZ17]

Yinghua Ai, Liang Kong, and Hao Zheng. “Topological orders and factorization homology”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 21.8 (2017), pp. 1845–1894. arXiv: 1607.08422. url: https://doi.org/10.4310/ATMP.2017.v21.n8.a1.

[And]

Ricardo Andrade. From manifolds to invariants of \(E_n\)-algebras. arXiv: 1210.7909.

[BCS10]

Andrew J. Blumberg, Ralph L. Cohen, and Christian Schlichtkrull. “Topological Hochschild homology of Thom spectra and the free loop space”. In: Geom. Topol. 14.2 (2010), pp. 1165–1242. arXiv: 0811.0553. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.1165.

[BD04]

Alexander Beilinson and Vladimir Drinfeld. Chiral algebras. Vol. 51. American Mathematical Society Colloquium Publications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. vi 375. isbn: 0-8218-3528-9.

[CG17]

Kevin Costello and Owen Gwilliam. Factorization algebras in quantum field theory. Vol. 1. Vol. 31. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2017, pp. ix+387. isbn: 978-1-107-16310-2. url: https://doi.org/10.1017/9781316678626.

[Fra13]

John Francis. “The tangent complex and Hochschild cohomology of \(\mathcal {E}_{n}\)-rings”. In: Compos. Math. 149.3 (2013), pp. 430–480. arXiv: 1104. 0181. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X12000140.

[Gin15]

Grégory Ginot. “Notes on factorization algebras, factorization homology and applications”. In: Mathematical aspects of quantum field theories. Math. Phys. Stud. Springer, Cham, 2015, pp. 429–552. arXiv: 1307.5213.

[GL19]

Dennis Gaitsgory and Jacob Lurie. Weil’s conjecture for function fields. Vol. 1. Vol. 199. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2019, pp. viii+311. isbn: 978-0-691-18214-8; 978-0-691-18213-1. url: http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/tamagawa-abridged.pdf.

[GTZ14]

Grégory Ginot, Thomas Tradler, and Mahmoud Zeinalian. “Higher Hochschild Homology, Topological Chiral Homology and Factorization Algebras”. In: Comm. Math. Phys. 326.3 (2014), pp. 635–686. arXiv: 1011.6483. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-014-1889-0.

[Hat]

Lucas Hataishi. \(C^{*}\)-Algebraic Factorization Homology and Realization of Cyclic Representations. arXiv: 2304.07155.

[HL22]

Quoc P. Ho and Penghui Li. “Eisenstein series via factorization homology of Hecke categories”. In: Adv. Math. 404.part A (2022), Paper No. 108410, 34. arXiv: 2103 . 10137. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108410.

[Hor17]

Geoffroy Horel. “Factorization homology and calculus à la Kontsevich Soibelman”. In: J. Noncommut. Geom. 11.2 (2017), pp. 703–740. arXiv: 1307. 0322. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/11-2-8.

[Kla18]

Inbar Klang. “The factorization theory of Thom spectra and twisted nonabelian Poincaré duality”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.5 (2018), pp. 2541–2592. arXiv: 1606 . 03805. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.2541.

[KM16]

Alexander Kupers and Jeremy Miller. “Homological stability for topological chiral homology of completions”. In: Adv. Math. 292 (2016), pp. 755–827. arXiv: 1311 . 5203. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.02.003.

[KM18]

Alexander Kupers and Jeremy Miller. “\(E_n\)-cell attachments and a local-to-global principle for homological stability”. In: Math. Ann. 370.1-2 (2018), pp. 209–269. arXiv: 1405 . 7087. url: https://doi.org/10.1007/s00208-017-1533-3.

[Knu17]

Ben Knudsen. “Betti numbers and stability for configuration spaces via factorization homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.5 (2017), pp. 3137–3187. arXiv: 1405.6696. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3137.

[Kon14]

L. Kong. “Some universal properties of Levin-Wen models”. In: XVIIth International Congress on Mathematical Physics. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, pp. 444–455. arXiv: 1211.4644.

[Lur]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry VI: \(\mathbb {E}[k]\)-Algebras. arXiv: 0911.0018.

[Lur09]

Jacob Lurie. “On the classification of topological field theories”. In: Current developments in mathematics, 2008. Int. Press, Somerville, MA, 2009, pp. 129–280. arXiv: 0905.0465.

[Mar]

Nikita Markarian. Manifoldic homology and Chern-Simons formalism. arXiv: 1106.5352.

[Mar17]

Nikita Markarian. “Weyl \(n\)-algebras”. In: Comm. Math. Phys. 350.2 (2017), pp. 421–442. arXiv: 1504 . 01931. url: https://doi.org/10.1007/s00220-017-2835-8.

[Mil]

Jeremy Miller. Nonabelian Poincare duality after stabilizing. arXiv: 1209.2773.

[Mil15]

Jeremy Miller. “The topology of the space of \(J\)-holomorphic maps to \(\CP ^2\)”. In: Geom. Topol. 19.4 (2015), pp. 1829–1894. arXiv: 1210.7377. url: https://doi.org/10.2140/gt.2015.19.1829.

[Sch14]

Claudia Isabella Scheimbauer. “Factorization Homology as a Fully Extended Topological Field Theory”. PhD thesis. ETH Zürich, 2014. url: http://www.scheimbauer.at/ScheimbauerThesis.pdf.