Factorization Algebras

Matsuoka [Mat] によると, 多様体上の factorization algebra は, Beilinson と Drinfel\('\)d による代数曲線上の chiral algebra に対応するものである。

今なら, Costello と Gwilliam の本 [CG17; CG21] を, まず見るべきだろう。 出版前のものは, Gwilliam のホームページから download できる。

Factorization algebra は, prefactorization algebra で sheaf のような gluing condition をみたすものである。 そして, 位相空間 \(X\) 上の symmetric monoidal category \((\bm {V},\otimes ,1)\) に値を持つ prefactorization algebra \(\cF \) とは, \(X\) の開集合の成す poset \(\category {Open}(X)\) から \(\bm {V}\) への functor で, 互いに交わらない開集合族 \(\{U_{1},\ldots ,U_{n}\}\) に対し \(\bm {V}\) の moprhism \[ \cF (U_{1})\otimes \cdots \otimes \cF (U_{n}) \rarrow {} \cF \left (\coprod _{i=1}^{n} U_{i}\right ) \] を持つもので, ある条件をみたすものとして定義される。

• prefactorization algebra

共変関手なので, presheaf というより precosheaf のようなものであり, 当然, その gluing condition も coequalizer の図式で定義される。

Donald Yau の本 [Yau20] の part 2 は, algebraic quantum field theory と prefactorization algebra に関して書かれている。

Yau は, 位相空間の開集合の成す poset を一般化した configured category という概念を導入し, それを用いて prefactorization algebra を Chapter 10 で定義している。

Benini, Perin, Schenkel, Woike [Ben+21] は, algebraic quantum field theory の categorification を考えるためには dg category の category に値を持つ prefactorization algebra を用いることを提案している。

References

[Ben+21]

Marco Benini, Marco Perin, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. “Categorification of algebraic quantum field theories”. In: Lett. Math. Phys. 111.2 (2021), Paper No. 35, 49. arXiv: 2003.13713. url: https://doi.org/10.1007/s11005-021-01371-8.

[CG17]

Kevin Costello and Owen Gwilliam. Factorization algebras in quantum field theory. Vol. 1. Vol. 31. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2017, pp. ix+387. isbn: 978-1-107-16310-2. url: https://doi.org/10.1017/9781316678626.

[CG21]

Kevin Costello and Owen Gwilliam. Factorization algebras in quantum field theory. Vol. 2. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, 2021, xiii+402 pp. isbn: 978-1-107-16315-7; 978-1-009-00616-3. url: https://doi.org/10.1017/9781316678664.

[Mat]

Takuo Matsuoka. Descent and the Koszul duality for locally constant factorization algebras. arXiv: 1312.2562.

[Yau20]

Donald Yau. Homotopical quantum field theory. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, [2020] ©2020, pp. xi+298. isbn: 978-981-121-285-7. arXiv: 1802.08101.