Dowker Complex

Dowker は, [Dow52] で, 関係 \(R\subset X\times Y\) から, abstract simplicial complex \(D(R)\) を構成し, その ホモロジーを調べている。 Brun らの [BFS] では, Dowker complex と呼ばれている。

Brun と Salbu の [BS23] によると, Dowker の構成は, 1960年代に Atkin [Atk72] により Q-theory として 社会科学で使われた, らしい。 他にも以下の分野で使われているようである。

• formal concept analysis [FAG15; Ayz]
• computational neuroscience [VHD23]
• cancer biology [Sto+; Yoo+24]
• molecular biology [Liu+22]
• network [CM18]
• PDF parser [ER]
• persistence diagram [YGG23]

Dowker は, 関係 \(R\subset X\times Y\) とその転置 \(R^{t}\subset Y\times X\) の Dowker complex の ホモロジー が同型になることを証明している。 この事実は, Dowker duality と呼ばれるようである。

• Dowker duality

当然, ホモロジー同値をホモトピー同値に改良しようと考えたくなるが, それについては Björner [Bjö95] が, 具体的にホモトピー同値写像を構成することにより示している。

そのホモトピー同値が, 関係の inclusion に関して up to homotopy で自然であることを示しているのが, Chowdhury と Mémoli の [CM18] である。 それを, より一般の関係の間の morphism に拡張したものとして, Virk の [Vir21] がある。

Brun と Salbu [BS23] は, 転置を取ることが simplicial complex の同型 \(E(R)\to E(R^{t})\) を与えるような simplicial complex \(E(R)\) を構成し, rectangle complex と名付けている。

• rectangle complex

射影により simplicial complex の写像 \(E(R)\to D(R)\) が定義され, Brun と Salbu は, それがホモトピー同値になることを示している。よって, Dowker duality は, ホモトピー同値と同相の列 \[ \|D(R)\| \larrow {\simeq } \|E(R)\| \cong \|E(R^{t})\| \rarrow {\simeq } \|D(R^{t})\| \] で理解するのがよいようである。

Yoon [Yoo] は, 更に relational join complex と relational product complex という変種を導入し, Quillen の Theorem A (の poset 版) を用いた Dowker duality の別証明を与えている。

• relational join complex
• relational product complex

精密化としては, Barmak [Bar11] による simple homotopy 版がある。その discrete Morse theory による別証明を Brun と Grinberg [BG] が与えている。

Robinson [Rob22] は, cosheaf を用いることを提案している。

Brun と Salbu は更に [BFS] で, Fosse と共に category への一般化を提案している。

References

[Atk72]

R. H. Atkin. “From cohomology in physics to \(q\)-connectivity in social science”. In: Internat. J. Man-Mach. Stud. 4 (1972), pp. 139–167. url: https://doi.org/10.1016/S0020-7373(72)80029-4.

[Ayz]

Anton Ayzenberg. Topology of nerves and formal concepts. arXiv: 1911.05491.

[Bar11]

Jonathan Ariel Barmak. “On Quillen’s Theorem A for posets”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.8 (2011), pp. 2445–2453. arXiv: 1005.0538. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2011.06.008.

[BFS]

Morten Brun, Marius Gårdsmann Fosse, and Lars M. Salbu. Dowker Duality for Relations of Categories. arXiv: 2303.16032.

[BG]

Morten Brun and Darij Grinberg. The Dowker theorem via discrete Morse theory. arXiv: 2407.15454.

[Bjö95]

A. Björner. “Topological methods”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Amsterdam: Elsevier, 1995, pp. 1819–1872.

[BS23]

Morten Brun and Lars M. Salbu. “The rectangle complex of a relation”. In: Mediterr. J. Math. 20.1 (2023), Paper No. 7, 8. arXiv: 2207.02018. url: https://doi.org/10.1007/s00009-022-02213-0.

[CM18]

Samir Chowdhury and Facundo Mémoli. “A functorial Dowker theorem and persistent homology of asymmetric networks”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 115–175. arXiv: 1608.05432. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0020-6.

[Dow52]

C. H. Dowker. “Homology groups of relations”. In: Ann. of Math. (2) 56 (1952), pp. 84–95. url: https://doi.org/10.2307/1969768.

[ER]

Kenneth P. Ewing and Michael Robinson. Metric Comparisons of Relations. arXiv: 2105.01690.

[FAG15]

Anton Freund, Moreno Andreatta, and Jean-Louis Giavitto. “Lattice-based and topological representations of binary relations with an application to music”. In: Ann. Math. Artif. Intell. 73.3-4 (2015), pp. 311–334. url: https://doi.org/10.1007/s10472-014-9445-3.

[Liu+22]

Xiang Liu, Huitao Feng, Jie Wu, and Kelin Xia. “Dowker complex based machine learning (DCML) models for protein-ligand binding affinity prediction”. In: PLOS Computational Biology 18.4 (Apr. 2022), pp. 1–17. url: https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1009943.

[Rob22]

Michael Robinson. “Cosheaf representations of relations and Dowker complexes”. In: J. Appl. Comput. Topol. 6.1 (2022), pp. 27–63. arXiv: 2005.12348. url: https://doi.org/10.1007/s41468-021-00078-y.

[Sto+]

Bernadette J. Stolz et al. Relational persistent homology for multispecies data with application to the tumor microenvironment. arXiv: 2308.06205.

[VHD23]

Melvin Vaupel, Erik Hermansen, and Benjamin A. Dunn. “A topological perspective on the dual nature of the neural state space and the correlation structure”. In: bioRxiv (2023). eprint: https://www.biorxiv.org/content/early/2023/10/17/2023.10.17.562775.full.pdf. url: https://www.biorxiv.org/content/early/2023/10/17/2023.10.17.562775.

[Vir21]

Žiga Virk. “Rips complexes as nerves and a functorial Dowker-nerve diagram”. In: Mediterr. J. Math. 18.2 (2021), Paper No. 58, 24. arXiv: 1906.04028. url: https://doi.org/10.1007/s00009-021-01699-4.

[YGG23]

Hee Rhang Yoon, Robert Ghrist, and Chad Giusti. “Persistent extensions and analogous bars: data-induced relations between persistence barcodes”. In: J. Appl. Comput. Topol. 7.3 (2023), pp. 571–617. arXiv: 2201.05190. url: https://doi.org/10.1007/s41468-023-00115-y.

[Yoo]

Iris H. R. Yoon. Dowker duality, profunctors, and spectral sequences. arXiv: 2408.13136.

[Yoo+24]

Iris H.R. Yoon et al. “Deciphering the diversity and sequence of extracellular matrix and cellular spatial patterns in lung adenocarcinoma using topological data analysis”. In: bioRxiv (2024). eprint: https://www.biorxiv.org/content/early/2024/01/17/2024.01.05.574362.full.pdf. url: https://www.biorxiv.org/content/early/2024/01/17/2024.01.05.574362.