Cosheaf

層の双対概念として cosheaf がある。 位相空間 \(X\) 上の precosheaf とは \(X\) の開集合と inclusion の成す category 上の単なる covariant functor のことであり, それに貼り合せの条件 を加えたのが cosheaf である。

• precosheaf
• cosheaf

Justin Curry の仕事 [CGR12; Cur] で知った Bacławski の論文 [Bac75] によると, cosheaf は既に Deheuvels の [Deh62] で調べられている。 60年代に出版されたものとしては, Bredon の [Bre68] もある。

解説としては, Curry の thesis [Cur14] がよいと思う。

Prasolov の [Pra21] によると, cosheaf を扱うときの問題は, cofiltered limit が exact functor ではないことで, よって cosheafification の構成が問題となる。

• cosheafification

Curry や Ghrist が cosheaf を考えているのは, cosheaf homology が persistent homology の一般化になっているからのようである。

• cosheaf homology

Henselman と Ghrist の [HG]によると \(\R \) 上の constructible cosheaf の homology が persistent homology になる。 Henselman と Ghrist は, その視点から persistent homology を計算する新しい algorithm を考えている。

他にも, Reeb graph の圏を記述すること [SMP16] などにも使えるようである。

Curryは, 応用トポロジーに cosheaf を使おうとしているわけだが, それ以外の分野でも cosheaf を使う試みはある。 例えば, Bentmann は [Ben14] で 位相空間上の \(C^*\)-algebra の分類のために, \(K\)-theory cosheaf を使っている。 Ruzzi と Vasselli [RV14] によると, \(C^*\)-algebra の precosheaf は nets of \(C^*\)-algebras という名前で, algebraic quantum field theory の研究の中で, 過去50年ぐらい活発に研究されてきたらしい。 von Neumann algebra に対しても, nets of von Neumann algebras が考えられてきた。 Hartmann [Har] は, coarse space 上 の modified Roe algebra が cosheaf になることを示している。 Geometric topology でも Ranicki と Weiss [RW10]が cosheaf 的なものを考えている。Levikov の [Lev16] もみるとよい。

Sheaf の場合は, Grothendieck topology を持った category, つまり site 上の sheaf に一般化されるが, cosheaf の場合も, 当然 site 上の cosheaf に一般化できる。

• site 上の cosheaf

最近では, Prasolov が [Pra12; Pra16; Pra21] などで調べているが, 既に1990年代に Bunge [Bun95] により調べられている。 また, 特別な場合である locale 上の cosheaf については, Funk [Fun95] が1990年代に調べている。

Sheaf と cosheaf を合せた bisheaf という構造も, Nanda と Patel [NP20] によって考えられている。

• bisheaf

Sheaf の高次版としては stack があるが cosheaf の高次版として costack も当然考えられている。例えば, Pirashvili の [Pir15] など。

• costack

References

[Bac75]

Kenneth Bacławski. “Whitney numbers of geometric lattices”. In: Advances in Math. 16 (1975), pp. 125–138. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(75)90145-0.

[Ben14]

Rasmus Bentmann. “Classification of certain continuous fields of Kirchberg algebras”. In: Internat. J. Math. 25.1 (2014), pp. 1450004, 11. arXiv: 1308.2126. url: https://doi.org/10.1142/S0129167X14500049.

[Bre68]

Glen E. Bredon. “Cosheaves and homology”. In: Pacific J. Math. 25 (1968), pp. 1–32.

[Bun95]

M. Bunge. “Cosheaves and distributions on toposes”. In: Algebra Universalis 34.4 (1995), pp. 469–484. url: https://doi.org/10.1007/BF01181872.

[CGR12]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. “Euler calculus with applications to signals and sensing”. In: Advances in applied and computational topology. Vol. 70. Proc. Sympos. Appl. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 75–145. arXiv: 1202.0275. url: https://doi.org/10.1090/psapm/070/589.

[Cur]

Justin Curry. Sheaves, Cosheaves and Applications. arXiv: 1303. 3255.

[Cur14]

Justin Michael Curry. Sheaves, cosheaves and applications. Thesis (Ph.D.)–University of Pennsylvania. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2014, p. 317. isbn: 978-1303-96615-6.

[Deh62]

René Deheuvels. “Homologie des ensembles ordonnés et des espaces topologiques”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 261–321. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__261_0.

[Fun95]

J. Funk. “The display locale of a cosheaf”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 36.1 (1995), pp. 53–93.

[Har]

Elisa Hartmann. A twisted Version of controlled K-Theory. arXiv: 1711.03746.

[HG]

Gregory Henselman and Robert Ghrist. Matroid Filtrations and Computational Persistent Homology. arXiv: 1606.00199.

[Lev16]

Filipp Levikov. “From \((\Z {},X)\)-modules to homotopy cosheaves”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.2 (2016), pp. 261–289. arXiv: 1503. 07433. url: https://doi.org/10.1007/s40062-015-0105-z.

[NP20]

Vidit Nanda and Amit Patel. “Canonical stratifications along bisheaves”. In: Topological data analysis—the Abel Symposium 2018. Vol. 15. Abel Symp. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. 391–403. arXiv: 1812. 05593. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-43408-3_15.

[Pir15]

Ilia Pirashvili. “The fundamental groupoid as a terminal costack”. In: Georgian Math. J. 22.4 (2015), pp. 563–571. arXiv: 1406.4419. url: https://doi.org/10.1515/gmj-2015-0050.

[Pra12]

Andrei V. Prasolov. “Precosheaves of pro-sets and abelian pro-groups are smooth”. In: Topology Appl. 159.5 (2012), pp. 1339–1356. arXiv: 1105.3167. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2011.12.015.

[Pra16]

Andrei V. Prasolov. “Cosheafification”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 38, 1134–1175. arXiv: 1605.01555.

[Pra21]

Andrei V. Prasolov. “Cosheaves”. In: Theory Appl. Categ. 37 (2021), Paper No. 33, 1080–1148. arXiv: 1804.07988.

[RV14]

Giuseppe Ruzzi and Ezio Vasselli. “The \(K\)-homology of nets of \(C^*\)-algebras”. In: J. Geom. Phys. 86 (2014), pp. 476–491. arXiv: 1312. 2944. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2014.10.003.

[RW10]

Andrew Ranicki and Michael Weiss. “On the construction and topological invariance of the Pontryagin classes”. In: Geom. Dedicata 148 (2010), pp. 309–343. arXiv: 0901 . 0819. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-010-9527-2.

[SMP16]

Vin de Silva, Elizabeth Munch, and Amit Patel. “Categorified Reeb graphs”. In: Discrete Comput. Geom. 55.4 (2016), pp. 854–906. arXiv: 1501.04147. url: https://doi.org/10.1007/s00454-016-9763-9.