Coarse Spaces

距離空間の持つ性質のうち, 主要なものを抽出したものとして最も一般的なのは, 位相であるが, 他にも距離空間からは coarse structure という概念が得られる。 Bell と Lawson の [BL19] や Bunke と Engel の [BE20] によると, Roe [Roe93; Roe03] により, Gromov の離散群への large-scale approach の 一般化として考えられたものらしい。

距離空間の位相は \(\varepsilon \)近傍で定義されているので, small-scale な情報しか得られない。例えば, Weighill の [Wei16] の冒頭に書かれているように, 距離 \(d\) から \[ \rho (x,y) = \min (d(x,y),1) \] と新しい距離 \(\rho \) を定義しても得られる位相は同じである。 位相では取り出せないような large-scale property を考えるのが coarse structure である。

Higson と Pedersen と Roe の [HPR97] では, coarse groupoid の特別な場合として定義されているが, 現在では Bunke の解説 [Bun] のように, 集合 \(X\) と \(X\times X\) の部分集合族 \(\cE \) の組 \((X,\cE )\) として定義するのが普通のようである。 \(\cE \) の元を entourage とか controlled subset などという。

• entourage

Coarse space の間の写像としては controlled map という種類の写像を用いる。そして homotopy category のように, controlled map の近さ (closeness) による同値類を用いて coarse category が定義される。

• controlled map
• 2つの controlled map が close であること
• coarse equivalence
• coarse category

応用としては, 例えば, 群の algebraic \(K\)-theory を assembly map により調べる [Bar+04], すなわち Farrell-Jones 予想などの isomorphism conjecture がある。最近では, [EM19; LT21] のように, topological phase を調べるのにも使われている。

Coarse space に対しては, \(K\)-theory や cohomology などが定義できるので, 代数的トポロジーの類似が行なえる。 その公理化を Bunke と Engel [BE20] が考えている。 彼等は, そのために bornological coarse space の \((\infty ,1)\)-category を導入した。その object を motivic coarse space と呼んでいる。彼等は更に motivic coarse spectrum の圏も構成している。

• bornological coarse space
• motivic coarse space
• motivic coarse spectrum
• coarse homology and cohomology

その名前の由来は, Hoyois [Hoy17; Hoy18] による equivariant motivic homotopy category の構成と parallel だからのようである。 同様の構成は, Bunke ら [BG21; BNV16] により differential cohomology の定式化にも使われている。

とにかく, このような設定では coarse homology theory は, 単に motivic coarse spectrum の \((\infty ,1)\)-category から spectrum の \((\infty ,1)\)-category への colimit preserving functor のことのようである。

他のアプローチとしては, simplicial complex に基づいたもの [Cen+12] もある。

References

[Bar+04]

Arthur Bartels, Tom Farrell, Lowell Jones, and Holger Reich. “On the isomorphism conjecture in algebraic \(K\)-theory”. In: Topology 43.1 (2004), pp. 157–213. arXiv: math/0108139. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(03)00032-6.

[BE20]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Homotopy theory with bornological coarse spaces. Vol. 2269. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. vii+243. isbn: 978-3-030-51335-1; 978-3-030-51334-4. arXiv: 1607.03657. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-51335-1.

[BG21]

Ulrich Bunke and David Gepner. “Differential function spectra, the differential Becker-Gottlieb transfer, and applications to differential algebraic \(K\)-theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 269.1316 (2021), pp. v+177. arXiv: 1306.0247. url: https://doi.org/10.1090/memo/1316.

[BL19]

G. Bell and A. Lawson. “Coarse direct products and property C”. In: Topology Proc. 53 (2019), pp. 201–207. arXiv: 1712.03324.

[BNV16]

Ulrich Bunke, Thomas Nikolaus, and Michael Völkl. “Differential cohomology theories as sheaves of spectra”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.1 (2016), pp. 1–66. arXiv: 1311 . 3188. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0092-5.

[Bun]

Ulrich Bunke. Coarse geometry. arXiv: 2305.09203.

[Cen+12]

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[EM19]

Eske Ellen Ewert and Ralf Meyer. “Coarse geometry and topological phases”. In: Comm. Math. Phys. 366.3 (2019), pp. 1069–1098. arXiv: 1802.05579. url: https://doi.org/10.1007/s00220-019-03303-z.

[Hoy17]

Marc Hoyois. “The six operations in equivariant motivic homotopy theory”. In: Adv. Math. 305 (2017), pp. 197–279. arXiv: 1509. 02145. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.031.

[Hoy18]

Marc Hoyois. “Corrigendum to “The six operations in equivariant motivic homotopy theory” [Adv. Math. 305 (2017) 197–279 ][ MR3570135]”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1293–1296. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.05.011.

[HPR97]

Nigel Higson, Erik Kjær Pedersen, and John Roe. “\(C^{*}\)-algebras and controlled topology”. In: \(K\)-Theory 11.3 (1997), pp. 209–239. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007705726771.

[LT21]

Matthias Ludewig and Guo Chuan Thiang. “Gaplessness of Landau Hamiltonians on hyperbolic half-planes via coarse geometry”. In: Comm. Math. Phys. 386.1 (2021), pp. 87–106. arXiv: 2009.07688. url: https://doi.org/10.1007/s00220-021-04068-0.

[Roe03]

John Roe. Lectures on coarse geometry. Vol. 31. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, pp. viii+175. isbn: 0-8218-3332-4.

[Roe93]

John Roe. “Coarse cohomology and index theory on complete Riemannian manifolds”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 104.497 (1993), pp. x+90.

[Wei16]

Thomas Weighill. “On spaces with connected Higson coronas”. In: Topology Appl. 209 (2016), pp. 301–315. arXiv: 1602.06991. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2016.07.002.