Differential cohomology

Cheeger-Simons の differential character の成す環を (ordinary) differential cohomology という。 類似のものとして, Deligne cohomology などがある。

一般コホモロジーに対しては, Freed が [Fre00] で, そして Hopkins と Singer が [HS05] で generalized differential cohomology を定義している。Freed の論文を読むとその motivation がよく分かる。 また, Bunke の lecture note [Bun] を見ると概観がつかめるかもしれない。

Szabo と Valentino の [SV10] にあるように, 単純化して言えば, 一般コホモロジー \(E^{*}(-)\) の differential version \(\breve {E}^{*}(-)\) とは, 次の pull-back diagram で定義されるものである。 \[ \xymatrix { \breve {E}^*(M) \ar [r] \ar [d] & \Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R ) \ar [d] \\ E^*(M) \ar [r]_{\mathrm {ch}} & H^*(M;E^*(*)\otimes \R ) } \] ここで, \(\Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R )\) は, smooth manifold \(M\) 上の \(E^*(*)\otimes \R \) 係数の closed differential form の成すベクトル空間である。\(\mathrm {ch}\) は, \(\Q \) 上のベクトル空間に値を持つコホモロジーの Atiyah-Hirzebruch spectral sequence が \(E_2\)-term で collapse することから得られる写像で, \(K\)-theory の場合は, Chern character である。

Bunke と Schick は, [BS09] で, 一般コホモロジーの smooth extension という言葉を使っている。 また, Bunke と Schick [BS12] は一般コホモロジーの smooth extension の公理も述べている。[BS10] では multiplicative smooth extension の定義も与えている。

• Bunke と Schick の公理

Bunke と Schick は [BS10; BS] では, smooth extension の一意性について考えている。

Upmeier [Upm] は, この Bunke と Schick の公理の下での一意性を述べるのに, differential cohomology を symmetric monoidal groupoid に値を持つ functor とみなすべきだと主張している。

Bunke と Schick は, [Bun+09] では 複素コボルディズムの smooth extension を構成している。Ordinary integral cohomology の類似の記述については, Kreck と共に [BKS10] で stratifold を用いて与えている。

最もよく調べられているのは, \(K\)-theory の場合だろう。

• differential \(K\)-theory

群の作用がある場合, smooth Deligne cohomology の equivariant版 が Gomi [Gom05] により導入されている。Kübel と Thom [KT18] はその改良版を提案している。Redden [Red17] は Borel construction による equivariant cohomology の differential 版を定義している。

• equivariant differential cohomology

Grady と Sati [GS18] は, stack を用いて Massey product を differential cohomology に拡張している。

対のコホモロジーの differential version もある。Christian Becker の [Bec] や Ruffino の [Ruf15] など。

ホモロジーについては, Ruffino の [Ruf17]がある。Jakob の [Jak98] が使われている。

• differential あるいは smooth homology

数理物理に現れるもう一つのコホモジーの一般化である twisted 版 を differential cohomology に導入しようという試みもある。

• twisted differential cohomology

Freed らの仕事 [Fre; FH21] により Anderson dual が topological phase の研究で使われるようになったが, その differential extension を Yamashita ら [YY23; Yam23; Yam] が考えている。

References

[Bec]

Christian Becker. Relative differential cohomology. arXiv: 1310.2851.

[BKS10]

Ulrich Bunke, Matthias Kreck, and Thomas Schick. “A geometric description of differential cohomology”. In: Ann. Math. Blaise Pascal 17.1 (2010), pp. 1–16. arXiv: 0903.5290. url: http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2010__17_1_1_0.

[BS]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. Corrigendum: Uniqueness of smooth extensions of generalized cohomology theories. arXiv: 1007.2788.

[BS09]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque 328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.

[BS10]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Uniqueness of smooth extensions of generalized cohomology theories”. In: J. Topol. 3.1 (2010), pp. 110–156. arXiv: 0901.4423. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq002.

[BS12]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Differential K-theory: a survey”. In: Global differential geometry. Vol. 17. Springer Proc. Math. Springer, Heidelberg, 2012, pp. 303–357. arXiv: 1011.6663. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-22842-1_11.

[Bun]

Ulrich Bunke. Differential cohomology. arXiv: 1208.3961.

[Bun+09]

Ulrich Bunke, Thomas Schick, Ingo Schröder, and Moritz Wiethaup. “Landweber exact formal group laws and smooth cohomology theories”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1751–1790. arXiv: 0711.1134. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1751.

[FH21]

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[Fre]

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[Fre00]

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[HS05]

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[Red17]

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[Ruf17]

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[SV10]

Richard J. Szabo and Alessandro Valentino. “Ramond-Ramond fields, fractional branes and orbifold differential \(K\)-theory”. In: Comm. Math. Phys. 294.3 (2010), pp. 647–702. arXiv: 0710.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-009-0975-1.

[Upm]

Markus Upmeier. A Bicategory Approach to Differential Cohomology. arXiv: 1211.6832.

[Yam]

Mayuko Yamashita. Invertible QFTs and differential Anderson duals. arXiv: 2304.08833.

[Yam23]

Mayuko Yamashita. “Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT’s, II”. In: J. Gökova Geom. Topol. GGT 16 (2023), pp. 65–97. arXiv: 2110.14828.

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Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura. “Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT’s, I”. In: J. Gökova Geom. Topol. GGT 16 (2023), pp. 1–64. arXiv: 2106.09270.