Deligne Cohomology

Deligne cohomology については, まず Gajer の [Gaj97] がある。 この論文は, 分類空間の differentiable space の構造についても詳しく書いてある。Gajer の論文で挙げられているのは, Esnault と Viehweg の [EV88] であるが。

• Deligne cohomology の定義

Deligne cohomology は, 複素数体上の代数多様体に対して考えられたものである。 Smooth manifold に対しても定義され, differential cohomology という Cheeger-Simons の differential character を用いて定義された環と同一視できる。Bunke と Schick の [BS09] のように, コホモロジー論の smooth extension という言い方もするようである。それらを統一して考えようというのが, Simons と Sullivan の [SS08] である。

Real smooth variety に対し, integral version を equivariant cohomology を用いて定義しようという試み [SL] もある。

Dupont と Ljungmann は, [DL05] で Deligne cohomology に対し integration map を定義している。

Pridham の [Pri17] では, Beilinson regulator を異なる種類の \(K\)-theory の間の morphism として解釈するために, 複素多様体の real Deligne cohomology をある種の \(K\)-theory として解釈することが提案されている。 他にも Anthony Blanc の [Bla16] もある。 そこでは, \(\bbC \) 上の smooth proper dg category の “topological \(K\)-theory” と, それを用いた dg category の Deligne cohomology の定義が提案されている。

Deligne cohomology は, gerbe とも関係が深い。Equivariant Deligne cohomology は, Gomi により [Gom05] で導入されたものである。 有限群の場合は, Lupercio と Uribe の orbifold Deligne cohomology [LU] と一致する, らしい。

• equivariant Deligne cohomology
• orbifold Deligne cohomology

一般コホモロジーへの拡張としては, Hopkins と Quick の [HQ] がある。 \(E\) が奇数次の \(\pi _{*}(E)\otimes \bbC \) が消えている symmetric spectrum のとき, symmetric spectrum \(E_{\mathcal{D}}(p)\) とそれで定義される cohomology から Deligne cohomolgoy への natural transformation が定義されている。彼等はこの cohomology を Hodge filtered cohomology と呼んでいる。

• Hodge filtered cohomology

彼等は, simplicial presheaf の言葉を用いている。

Quick [Qui] は, rationally even spectrum に対して, 空間レベルの構成を導入し, その \(\mathrm{BP}\) 版について, Wilson の分解 [Wil75] との関係を調べている。

References

[Bla16]

Anthony Blanc. “Topological K-theory of complex noncommutative spaces”. In: Compos. Math. 152.3 (2016), pp. 489–555. arXiv: 1211.7360. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007617.

[BS09]

Ulrich Bunke and Thomas Schick. “Smooth \(K\)-theory”. In: Astérisque 328 (2009), 45–135 (2010). arXiv: 0707.0046.

[DL05]

Johan L. Dupont and Rune Ljungmann. “Integration of simplicial forms and Deligne cohomology”. In: Math. Scand. 97.1 (2005), pp. 11–39. arXiv: math/0402059.

[EV88]

Hélène Esnault and Eckart Viehweg. “Deligne-Beı̆linson cohomology”. In: Beı̆linson’s conjectures on special values of \(L\)-functions. Vol. 4. Perspect. Math. Boston, MA: Academic Press, 1988, pp. 43–91.

[Gaj97]

Paweł Gajer. “Geometry of Deligne cohomology”. In: Invent. Math. 127.1 (1997), pp. 155–207. url: https://doi.org/10.1007/s002220050118.

[Gom05]

Kiyonori Gomi. “Equivariant smooth Deligne cohomology”. In: Osaka J. Math. 42.2 (2005), pp. 309–337. arXiv: math/0307373. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153494380.

[HQ]

Michael J. Hopkins and Gereon Quick. Hodge filtered complex bordism. arXiv: 1212.2173.

[LU]

Ernesto Lupercio and Bernardo Uribe. Deligne Cohomology for Orbifolds, discrete torsion and B-fields. arXiv: hep-th/0201184.

[Pri17]

J. P. Pridham. “A \(K\)-theoretic interpretation of real Deligne cohomology”. In: Adv. Math. 320 (2017), pp. 795–826. arXiv: 1411.5705. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.09.018.

[Qui]

Gereon Quick. Unstable splittings in Hodge filtered Brown-Peterson cohomology. arXiv: 1610.07912.

[SL]

Pedro F. dos Santos and Paulo Lima-Filho. Integral Deligne Cohomology for Real Varieties. arXiv: 0810.2058.

[SS08]

James Simons and Dennis Sullivan. “Axiomatic characterization of ordinary differential cohomology”. In: J. Topol. 1.1 (2008), pp. 45–56. arXiv: math/0701077. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtm006.

[Wil75]

W. Stephen Wilson. “The \(\Omega \)-spectrum for Brown-Peterson cohomology. II”. In: Amer. J. Math. 97 (1975), pp. 101–123. url: http://dx.doi.org/10.2307/2373662.