Gerbe と関連した概念

Gerbe は, Giraud [Gir71] によって, 非可換コホモロジーの研究のために導入された概念である。 一言で言うと, stack of groupoids であるが, \(\bbC ^{\times }\) を fiber とする gerbe は, 単純に言えば 高次の line bundle のようなものであり, 最近幾何学的構造を記述するのに使おうという試みがある。 例えば, mirror symmetry との関連が, Hitchin により [Hit01] で述べられている。 理論物理でも, [Kal99] など, popular な概念になりつつあるようである。

Line bundle に様々な解釈があるように, gerbe にも様々なアプローチが考えられる。

• sheaf of groupoids としての gerbe の定義 [Bry93]
• bundle gerbe [Mur96]
• principal \(B\bbC ^{\times }\)-bundle としての gerbe [Gaj97]
• 3次の Cech cocycle による記述

Gerbe については, Brylinski の本 [Bry93] が, 「教科書」としてよく挙げられている。Gajer の論文 [Gaj97] の Appendix A には gerbe と principal \(B\bbC ^{\times }\)-bundle の対応が説明してある。 代数的トポロジーの人にはこの論文が分かりやすいと思う。その延長にあるのが, Stevenson の thesis [Ste00] である。\(2\)-gerbe や bundle \(2\)-gerbe とそれらに関連した \(H^4(X;\Z )\) の元について考察されている。Gerbe と bundle gerbe に関する解説としても, 一度目を通しておくべきである。 他にも以下のような文献が参考になる。

• Hitchin の論文 [Hit01] の最初の section
• Lupercio と Uribe のもの [LU]
• Breen と Messing の [BM05]
• Breen の [Bre10]
• Waldorf の thesis ( この website から download できる)
• Bunk の bundle gerbe の解説 [Bun21]

Hitchin は, 底空間が\(n\)次元向き付け可能多様体のとき, gerbe を\((n-3)\)次元部分多様体として扱うことを提案している。 Gerbe を表す\(3\)次元コホモロジー類の Poincaré dual である \((n-3)\)次元ホモロジー類を表す部分多様体を考える, ということである。

より一般的に, Grothendieck site 上の locally connected presheaf of groupoids として扱うこともできる。 Jardine の [Jar10] では, その gerbe の定義での homotopy 集合を用いた分類を行なっている。そこで用いられている cocycle category は, Jardine により [Jar09] で定義されたものである。

Gerbe は line bundle の類似なので, vector bundle に関する概念に類似の概念を定義しようとするのは自然な要求であり, 既に多くの試みがある。例えば, その上に connection を考えることは初期の研究から行なわれてきた。

• gerbe with connection
• connective structure [BM05]
• curving
• gerbeのextension [Yek10]

Connective structure と curving を持つ gerbe は, \(2\)次元の Deligne cohomology で分類される。

Aldrovandi [Ald08] によると, connective structure は, “gerbe bound by complex” という概念の特別な場合らしい。 この論文の目的は, \(2\)-gerbe bound by complex を考えることであるが。

• gerbe bound by complex

Equivariant gerbe は, Brylinski の [Bry] の appendix で述べられている。

• equivariant gerbe
• orbifold 上の connection を持つ gerbe の holonomy map [LU06]

Gomi は, equivariant smooth Deligne cohomologyを [Gom05]で導入し, それが connective structure と curving を持つ equivariant gerbe を分類することを示している。

Bundle gerbe の equivariant 版もある。 Murray, Roberts, Stevenson, Vozzo の[Mur+17] である。 また Hekmati, Murray, Szabo, Vozzo の [Hek+19] では, 底空間が \(\Z _{2}\)作用を持つときの Real bundle gerbe が導入され, 調べられている。

• equivariant bundle gerbe
• Real bundle gerbe

複素 line bundle は, \(\bbC ^{\times }\) を構造群に持つ fiber bundleであり, その同型類は, classifying map \[ X \longrightarrow B\bbC ^{\times } \simeq K(\Z ,2) \] で分類される。つまり \(H^2(X;\Z )\) の元で分類されるわけであるが, それは first Chern class \(c_1\) である。(\(\bbC \)上の) gerbe は, Dixmier-Douady class という \(3\) 次元のコホモロジー類で分類されることが知られている。

• gerbe の Dixmier-Douady class
• gerbe が Dixmier-Douady class で分類されること。

Dixmier-Douady class は, \(3\)次元の Čech cohomology の元として得られるが, 幾何学的応用からは, de Rham cohomology の元として表示する方がよい。 Self-adjoint Fredholm operator の成す空間上の gerbe の Dixmier-Douady class については, Carey と Mickelsson [CM02] が調べている。

Bundle gerbe についても, Dixmier-Douady class で分類されることが分っている。ただし分類されるのは, isomorphism class ではなく stable isomorphism class である。

• bundle gerbe の stable isomorphism
• bundle gerbe の stable isomorphism class が Dixmier-Douady class で分類されること。[MS00]

Waldorf [Wal07] によると, stable isomorphism は bundle gerbe の圏を \(2\)-category と考えときの, \(1\)-morphism とみなすべきもののようである。Waldorf は stable isomorphism を含む新しい \(1\)-morphism を提案している。

このように, gerbe は \(H^3(X;\Z )\) の元で分類されるわけであるが, \(H^3(X;\Z )\) の元が与えられると, その元による \(K\)-theory の twisting が得られる。となると, gerbe から直接\(K\)-theoryの twisting を構成したくなるが, bundle gerbe と twisted \(K\)-theory との関連について は, Carey らの [Bou+02] で調べられている。 Orbifold 上の gerbe から, 直接 orbifold \(K\)-theory の twisting を構成することは, Lupercio と Uribe の [LU04] で行なわれている。

Paul Turner 達 [BTW04] によると, gerbe は rank one homotopy quantum field theory とほぼ同等のものらしい。

Line bundle の section が関数のglobal化であることの類似で, gerbe の section として重要な関数を表わすことも考えられている。Theta関数が, 楕円曲線上のある line bundle の holomorphic section として表わされることの“高次化”として, Felder と Henriques と Rossi と Zhu が, [Fel+08]で elliptic gamma function を, ある stack 上の gerbe の section として表わしている。

Poisson manifold 上の可微分関数の成す環に対しては, deformaion quantization が考えられるが, その一般化として gerbe の deformation quantization も考えられる。Bressler らが [Bre+07; Bre+08] で調べ始めている。 Deligne \(2\)-groupoid などが関係しているようである。

他の gerbe の変種としては, Jurco などの “nonabelian gerbe” や “nonabelian bundle gerbe” など [Asc+10; ACJ05] がある。また Jurco は, [Jur11a] では, crossed module を用い simplicialな道具を用いて調べている。Jurco は [Jur11b] では, \(2\)-crossed module を用いた nonabelian bundle \(2\)-gerbe を考えている。

また, quantum gerbe を定義しようという試み [Asc+10; Mic] もある。

Relative gerbe は, Shahbazi の Ph.D. thesis [Sha] で定義された。

Gerbe の higher version も, もちろん考えられる。 ホモトピー論的にもっとも分りやすいのが, \(p\ge 1\) として、 principal \(B^p\bbC ^{\times }\)-bundle を考えることだろう。Higher bundle gerbe は Carey と Murray と Wang の [CMW97] で考察されている。Bundle \(2\)-gerbe は Waldorf の [Wal13] で使われている。

• \(2\)-gerbe と bundle \(2\)-gerbe

一方, gerbe のファイバーの次元を上げて, 高次の vector bundle を考えようというのも自然なアイデアである。

• 高次のファイバー束

References

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