Crossed Modules and Related Topics

Crossed module は, J.H.C. Whitehead により [Whi49] で導入された概念である。 Wagemann の本 [Wag21] がある。

トポロジーにおける groupoid の最も基本的な例は, fundamental groupoid であるが, crossed module の基本的な例は, 連結準同型 \(\partial : \pi _2(X,A) \to \pi _1(A)\) である。

• crossed module の定義
• crossed module の分類空間
• \(\pi _2(X,A)\) に関する van Kampenの定理の類似 [BH78]

Crossed module と本質的に同じ構造で, 別の名前で呼ばれているものが色々ある。 Baues と Muro は, [BM08] で類似の概念も含めて secondary group という言葉を使うことを提案している。彼らはこの論文で ホモトピー群の secondary version を定義している。

• crossed module の成す category と double groupoid の成す category は同値 [BS76; BH81]
• crossed module の成す \(2\)-category と strict \(2\)-group の成す \(2\)-category は, \(2\)-equivalent [Por]

Crossed module と \(2\)-group の関係, そしてそれらが連結な空間の homotopy \(2\)-type を表わすことについては, Noohi の [Noo07] にも解説されている．そこでは \(2\)-groupoid についても考察されている。

Crossed module の center は, Norrie [Nor90] により定義されたが, 最近 Pirashvili [Pir] により別の定義が提案された。 Pirashvili はその比較も行なっている。

ホモロジーについては, 分類空間を用いた Baues [Bau91] と Ellis [Ell92] によるものがある。その後, Carrasco と Cegarra と R.-Grandjeá́n [CCR02] により Barr-Beck monadic homology としての別の定義が提案された。 更に最近, Donadze と van der Linden [DV19] により, Baues-Ellis homology を一般化する新しいホモロジーが定義された。

元々の起源はホモトピー論にあったが, 最近では様々な分野で使われているようになっている。例えば, Maier と Schweigert の [MS11] にあるように, 有限群の Drinfel\('\)d double は crossed module とみなすことができる。よって crossed module の表現は, Drinfel\('\)d double の表現を一般化した構造を持つ, はずである。

では, crossed module の表現とは何だろうか? Maier と Schweigert は, Bantay が [Ban10]で述べている crossed module から構成した premodular tensor category のことを, その crossed module の表現と呼んでいる。 それが, 有限群の表現と有限群の Drinfel\('\)d double の表現の共通の一般化になっているからである。

• crossed module の表現

Maier とSchweigert [MS11] は, Bruguières が [Bru00] で発見した premodular tensor category から modular tensor category を構成する方法を crossed module の表現の圏に適用したが, できたものは有限群の Drinfel\('\)d double の表現の圏と同値になってしまい, 新しい modular tensor category の例を構成するためには使えないようである。

Monoidal category と関連した話題としては, Sözer と Virelizier [SV] の crossed module で grading の付いた monoidal category がある。

• monoidal category graded by crossed module

Whitehead の定義したものは, 正確には 群の crossed module と呼ぶべきものである。他にも Lie algebra の crossed module とか Hopf algebra の crossed module などが考えられている。更に高次版も考えられている。

• variations and generalizations of crossed modules

References

[Ban10]

P. Bantay. “Characters of crossed modules and premodular categories”. In: Moonshine: the first quarter century and beyond. Vol. 372. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 1–11. arXiv: math/0512542.

[Bau91]

Hans Joachim Baues. Combinatorial homotopy and \(4\)-dimensional complexes. Vol. 2. De Gruyter Expositions in Mathematics. With a preface by Ronald Brown. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1991, pp. xxviii+380. isbn: 3-11-012488-2. url: https://doi.org/10.1515/9783110854480.

[BH78]

Ronald Brown and Philip J. Higgins. “On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 36.2 (1978), pp. 193–212.

[BH81]

Ronald Brown and Philip J. Higgins. “On the algebra of cubes”. In: J. Pure Appl. Algebra 21.3 (1981), pp. 233–260. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(81)90018-9.

[BM08]

Hans-Joachim Baues and Fernando Muro. “Secondary homotopy groups”. In: Forum Math. 20.4 (2008), pp. 631–677. arXiv: math/0604029. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2008.032.

[Bru00]

Alain Bruguières. “Catégories prémodulaires, modularisations et invariants des variétés de dimension 3”. In: Math. Ann. 316.2 (2000), pp. 215–236. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080050011.

[BS76]

Ronald Brown and Christopher B. Spencer. “Double groupoids and crossed modules”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 17.4 (1976), pp. 343–362.

[CCR02]

P. Carrasco, A. M. Cegarra, and A. R.-Grandjeán. “(Co)homology of crossed modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 168.2-3 (2002). Category theory 1999 (Coimbra), pp. 147–176. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00094-9.

[DV19]

Guram Donadze and Tim Van der Linden. “A comonadic interpretation of Baues-Ellis homology of crossed modules”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.3 (2019), pp. 625–646. arXiv: 1805.07748. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0225-3.

[Ell92]

Graham J. Ellis. “Homology of \(2\)-types”. In: J. London Math. Soc. (2) 46.1 (1992), pp. 1–27. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s2-46.1.1.

[MS11]

Jennifer Maier and Christoph Schweigert. “Modular categories from finite crossed modules”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.9 (2011), pp. 2196–2208. arXiv: 1003.2070. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.12.010.

[Noo07]

Behrang Noohi. “Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 75–106. arXiv: math/0512106. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1175791088.

[Nor90]

Katherine Norrie. “Actions and automorphisms of crossed modules”. In: Bull. Soc. Math. France 118.2 (1990), pp. 129–146. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1990__118_2_129_0.

[Pir]

Mariam Pirashvili. On the centre of crossed modules of groups and Lie algebras. arXiv: 2109.00981.

[Por]

Sven-S. Porst. Strict 2-Groups are Crossed Modules. arXiv: 0812.1464.

[SV]

Kursat Sözer and Alexis Virelizier. Monoidal categories graded by crossed modules and \(3\)-dimensional HQFTs. arXiv: 2207.06534.

[Wag21]

Friedrich Wagemann. Crossed modules. Vol. 82. De Gruyter Studies in Mathematics. De Gruyter, Berlin, [2021] ©2021, pp. xiv+393. isbn: 978-3-11-075076-8; 978-3-11-075095-9; 978-3-11-075099-7. url: https://doi.org/10.1515/9783110750959-201.

[Whi49]

J. H. C. Whitehead. “Combinatorial homotopy. II”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), pp. 453–496. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1949-09213-3.