Drinfel′d Double

Drinfel\('\)d double という操作がある。Drinfel\('\)d の quantum group の文脈 [Dri87] では, Hopf algebra から新しい Hopf algebra を作る操作である。できた Hopf algebra が quasitriangular Hopf algebra の構造を持つのがミソである。

有限次元 Hopf algebra \(H\) の Drinfel\('\)d double \(D(H)\) の表現の圏は, \(H\) の Yetter-Drinfel\('\)d module の圏と同値になる。Hajac, Khalkhali, Rangipour, Sommerhäuser の [Haj+04] では, Kassel の本 [Kas95] の220ページが参照されている。

有限群の group ring は Hopf algebra の代表的なものであるが, その Drinfeld double は, 様々な人々により研究されている。 Kashina と Mason と Montgomery の [KMM02] によると, ある種の Hopf algebra の extension \(kG^* \to D(G) \to kG\) として記述できるようである。

一方, 有限群の group ring の Drinfel\('\)d double は crossed module の例にもなっている。 Bantay の [Ban10] や Maier と Schweigert の [MS11] など。

有限群の group ring については, その \(3\)-cocycle を用いた twisted version もある。 Naidu と Nikshych と Witherspoon [NNW09] によると, Dijkgraaf と Pasquier と Roche [DPR90] により導入されたもののようである。 Becerra, Martinez, Valásquez の [VBM13] では, Witherspoon の [Wit96] が参照されている。

• twisted Drinfel\('\)d double

Willerton の [Wil08] によると, それは元の群の loop groupoid の twisted groupoid algebra として表わされるらしい。 Kaufmann と Pham の [KP09] や, Becerra らの [VBM13] では, orbifold twisted \(K\)-theory との関連が述べられている。

Ostrik は, この twisted version も含めた Drinfeld double の上の module category の分類を [Ost03] で行なっている。

Montgomery は Guralnick と [GM09] で reflection group の Drinfeld double の Frobenius-Schur indicator を調べている。

Drinfel\('\)d double の定義は様々な方法に拡張されている。例えば, Joyal と Street [JS91] により monoidal category へ一般化されている。その元になっているのは, semisimple Hopf algebra \(H\) の Drinfel\('\)d double の表現の圏が braided monoidal category として \(H\) の表現の圏の center と同値になるという事実である。

• Drinfel\('\)d center

References

[Ban10]

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[DPR90]

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[VBM13]

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[Wil08]

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[Wit96]

S. J. Witherspoon. “The representation ring of the twisted quantum double of a finite group”. In: Canad. J. Math. 48.6 (1996), pp. 1324–1338. url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1996-070-6.