Reflection Groups and Related Topics

Lie 群論で現れる Weyl 群は, 超平面に関する鏡映で生成される。 それを一般化したのが, reflection group であり, Coxeter group である。 Coxeter group の定義では, 生成元を指定する必要があるので, 生成元も含めた Coxeter system という概念もある。 Lie 群と共に, 分類空間等を用いて構成する空間の例としてホモトピー論でも重要である。 直接関係ある分野としては, hyperplane arrangement の研究がある。

鏡映群の教科書としては, 例えば, [Hum90; GB85] などがある。 Grove と Benson の本は短かいので, 学生のセミナーで何度か使ったことがある。

Armstrong の thesis [Arm09] も最近の Coxeter group に関する話題や基本的なことが説明してあって有用である。 Oriented matroid に関する Björner らの本 [Bjö+99] の reflection arrangement の部分も見るとよい。 Björner は, Brenti と [BB05] という Coxeter group についての本も書いている。Dolgachev は [Dol08] という 代数幾何における reflection group の survey を書いている。

• real reflection arrangement
• real reflection group
• Coxeter group と Coxeter system
• complex reflection group

多項式環の積を行列で捻った skew polynomial algebra への一般化が Kirkman と Kuzmanovichと Zhang [KKZ10] により得られている。 そこに現れる群を Bazlov と Berenstein [BB14] は, mystic reflection group と呼んで調べている。Bazlov らの仕事 [BB09] にも独立に現れたようである。 また一つの homogeneous degree への作用だけ考えて, projective reflection group という一般化 [Cas11] も定義されている。

• mystic reflection group
• projective reflection group

Kirillov と Maeno の [KM10] によると, Coxeter group の場合には Dunkl operator を用いて coinvariant で特徴付けることもできるらしい。 彼らは, Dunkl と Opdam による一般化 [DO03] を用いて, Dunkl の結果の一般化を考えている。Flag variety の コホモロジーが Weyl 群 の coinvariant を用いて表されること, finite Coxeter group の coinvariant が Nichols-Woronowicz algebra という braided Hopf algebra に埋め込める [Baz06] など, 関連したことが色々あって興味深い。

• Dunkl (Dunkl-Opdam) operator
• Nichols-Woronowicz algebra

Reflection group の性質を調べるときは, 対応する reflection arrangement の言葉を使うと分かりやすいこともある。 例えば, weak Bruhat order は reflection arrangement の chamber (tope) の集合に定義された poset の構造と考えると幾何学的な意味が分かる。Reflection arrangement については, [Bjö+99] の §2.3 に簡潔にまとめられている。

• weak Bruhat order
• strong Bruhat order
• tilted Bruhat order ([BFP99])

一般化としては, まず Manin と Schechtman [MS86b; MS86a; MS89] による higher Bruhat order がある。その一般化が, Danilov, Karzanov, Koshevoy の [DKK24; DKK] で考えられている。

Reflection group はその reflection hyperplane 達に作用するため, 対応する reflection arrangement で生成されたベクトル空間に作用する。 その表現を braid 群の表現として deform することにより, Marin は [Mar09] で complex reflection group の新しい表現を定義している。またその過程で, reflection group \(W\) の不変量 \(\kappa (W)\) を定義している。その数は, Beck [Bec11] によりコホモロジーを用いた解釈が得られている。

Reflection group や Coxeter group を考える時は, 対称群を例にとって考えると良い。 実際, 対称群に関する様々な概念の一般化が知られている。

例えば, complex reflection group に対しては, Hecke algebra が定義される。 それに associate した braid 群の group ring の quotient として定義される。他にも reflection から定義される algebra には様々なものがある。

• braid 群
• reflection から定義される algebra

R.M. Green は star reducible Coxeter group という概念を [Gre06] で考えている。

Euclid空間は定曲率多様体の一つであり, その観点からは球面や双曲空間の reflection groupを考えることも自然な問題である。実際, Dolgachevのsurvey [Dol08]では定曲率空間のreflection groupとして統一して扱われ ている。

• hyperbolic reflection group

より一般に, Riemann多様体上の “reflection” で生成された群については, 結構古くから調べられているようである。 Straume の [Str81]によると, Weyl や Koszul [Kos65]により研究が始められたようである。Straume のは位相空間の場合であるが, Riemann多様体の場合は, その後 Gutkin の [Gut86], Alexeevskyと Kriegl と Losik と Michor の [Ale+07] などで調べられている。

Das とDeshpande [DD16]は codimension \(1\) submanifold の arrangementの場合について調べている。

Weyl群はCartan matrixで記述することができるが, Cartan matrixのfamily (Cartan scheme) から定義されたWeyl groupoidというものもある。

• Weyl groupoid

群の一般化としては, groupoid の他に monoidも あるが, reflection monoidという概念 [EF10; EF13] も考えられている。

References

[Ale+07]

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[Arm09]

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