Quantum Cohomology

Qin と Ruan の [QR98] によると, quantum cohomology は, Witten の [Wit88] により提唱されたものらしい。 数学的にきちんとした理論となったのは, Ruan の [Rua96] や Ruan と Tian の [RT95] あたりのようである。彼等は, symplectic 多様体に対して考えたが, 代数幾何学的に扱ったものもある。 Kontsevich と Manin の [KM94] や Tian の [LT97] である。

Orbifold に対する quantum cohomology は Chen と Ruan によって [CR04] で導入された。[CR] はその announcement である。Jarvis と Kimura は [JK02] で, 有限群の分類空間の orbifold quantum cohomology を決定している。

他に具体的な空間の quantum cohomology の決定としては, \(\bbC ^2\) の点の Hilbert scheme の equivariant quantum cohomology を決定した Okounkov と Pandharipande の [OP10] がある。

Quantum \(K\)-theory というものもある。Givental の [Giv00] に登場する。Y.-P. Lee により [Lee04] で調べられている。

• quantum \(K\)-theory
• \(K\)-theoretic Gromov-Witten invariant

Quantum \(K\)-theory については, Roquefeuil の thesis [Roq] の Chapter IV がある。その Introduction に \(q\)-difference equation との関係について, 簡潔に述べられている。

• \(q\)-difference equation

References

[CR]

Weimin Chen and Yongbin Ruan. Orbifold Quantum Cohomology. arXiv: math/0005198.

[CR04]

Weimin Chen and Yongbin Ruan. “A new cohomology theory of orbifold”. In: Comm. Math. Phys. 248.1 (2004), pp. 1–31. arXiv: math/0004129. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1089-4.

[Giv00]

Alexander Givental. “On the WDVV equation in quantum \(K\)-theory”. In: Michigan Math. J. 48 (2000). Dedicated to William Fulton on the occasion of his 60th birthday, pp. 295–304. arXiv: math/0003158. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1030132720.

[JK02]

Tyler J. Jarvis and Takashi Kimura. “Orbifold quantum cohomology of the classifying space of a finite group”. In: Orbifolds in mathematics and physics (Madison, WI, 2001). Vol. 310. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 123–134. arXiv: math/ 0112037.

[KM94]

M. Kontsevich and Yu. Manin. “Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 164.3 (1994), pp. 525–562. arXiv: hep - th / 9402147. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270948.

[Lee04]

Y.-P. Lee. “Quantum \(K\)-theory. I. Foundations”. In: Duke Math. J. 121.3 (2004), pp. 389–424. arXiv: math / 0105014. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12131-1.

[LT97]

Jun Li and Gang Tian. “The quantum cohomology of homogeneous varieties”. In: J. Algebraic Geom. 6.2 (1997), pp. 269–305.

[OP10]

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[QR98]

Zhenbo Qin and Yongbin Ruan. “Quantum cohomology of projective bundles over \(\mathbf {P}\sp n\)”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 350.9 (1998), pp. 3615–3638. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-98-01968-0.

[Roq]

Alexis Roquefeuil. Confluence of quantum \(K\)-theory to quantum cohomology for projective spaces. arXiv: 1911.00254.

[RT95]

Yongbin Ruan and Gang Tian. “A mathematical theory of quantum cohomology”. In: J. Differential Geom. 42.2 (1995), pp. 259–367. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214457234.

[Rua96]

Yongbin Ruan. “Topological sigma model and Donaldson-type invariants in Gromov theory”. In: Duke Math. J. 83.2 (1996), pp. 461–500. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-96-08316-7.

[Wit88]

Edward Witten. “Topological sigma models”. In: Comm. Math. Phys. 118.3 (1988), pp. 411–449. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104162092.