群の分類空間

分類空間 \(B\) とは, ある空間 \(X\) 上の幾何学的対象 (構造) の集合が, \(X\) から \(B\) へのホモトピー集合 \([X,B]\) と1対1に対応するような空間のことである。

その原型は, 位相群 \(G\) に対する Steenrod による主\(G\)束の分類定理 [Ste51] である。 主\(G\)束の分類空間 \(BG\) は, \(G\) の分類空間と呼ばれる。

標準的な構成では無限次元になり, 元々考えていた幾何学的対象の属する圏からはみ出すことが多い。 例えば \(G\) が compact Lie 群の場合は, \(BG\) は無限次元の空間になり, 有限次元多様体という \(G\) の持っていた性質を失なう。 それでも分類空間の幾何学的構造を考えようという試みはある。

• 分類空間の構成
• ホモトピー論的なgroup completion
• 分類空間のホモトピー論
• 分類空間の幾何学
• characteristic classes

離散群の場合は, \(K(\pi ,1)\)である。 Abel群の場合だと, 分類空間を取る構成を繰り返すことができて, Eilenberg-Mac Lane space を作ることができる。

• \(K(\pi ,1)\)
• Eilenberg-Mac Lane spaces

\(G\) の分類空間 \(BG\) を考えるときには, その上の universal bundle \(EG\to BG\) も一緒に考えないといけない。これが principal \(G\)-bundle の中で universal なものであるからである。 principal \(G\)-bundle \(E\to B\) の total space \(E\) は, \(G\) の作用する空間であり, その商空間が \(B\) であるから, universal bundle の universality は \(G\)-equivariant map \(E\to EG\) の存在で特徴付けられる。 このことから, 位相群 (局所コンパクト群) の proper action に対して universal な proper \(G\)-space \(\underline{EG}\) が考えられている。 Proper \(G\)-action の classifying space とも呼ばれる。

• proper \(G\)-actionの universal example (classifying space) \(\underline{EG}\)

これについては, Baum と Connes と Higson の [BCH94] を見るとよいと思う。3つの Appendix で, \(\underline{EG}\) について詳しく述べられている。

部分群の family が与えられた群に対しても分類空間を構成することができる。

• 部分群の family が与えられた群の分類空間

Survey としては, Lück の [Lüc05] がある。Connolly と Fehrman と Hartglass の [CFH] には, Brown の [Bro79], Farrell と Jones の [FJ93], Lück の [Lüc00], Serre の [Ser71] が挙げられている。 Ramras の [Ram] では small category の分類空間として構成されている。

一般化としては, parametrized version もある。Stevenson と Roberts の [RS] である。

• parametrized principal bundle の分類定理

\(G\) が離散群の場合は \(BG\) は \(G\)-covering を分類する空間になるが, 分岐被覆を分類する空間の構成も知られている。 Brand の [Bra80] など。

幾何学的構造の集合を表現するという意味では, その最も一般化された形は, 関手の表現可能性に関する Brown の表現定理かもしれない。

もっとも, small categoryの分類空間のように, 元々分類する幾何学的対象がなく, 位相群の分類空間の構成の本質的な部分を取り出して一般化したようなものもある。 Weiss [Wei05] のように, small category の分類空間が何を分類するかを考えている人もいるが。

• small category と topological category の分類空間

References

[BCH94]

Paul Baum, Alain Connes, and Nigel Higson. “Classifying space for proper actions and \(K\)-theory of group \(C^{\ast }\)-algebras”. In: \(C^{\ast }\)-algebras: 1943–1993 (San Antonio, TX, 1993). Vol. 167. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 240–291. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/167/1292018.

[Bra80]

Neal Brand. “Classifying spaces for branched coverings”. In: Indiana Univ. Math. J. 29.2 (1980), pp. 229–248. url: http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1980.29.29015.

[Bro79]

Kenneth S. Brown. “Groups of virtually finite dimension”. In: Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977). Vol. 36. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1979, pp. 27–70.

[CFH]

Frank Connolly, Benjamin Fehrman, and Michael Hartglass. On The Dimension of The Virtually Cyclic Classifying Space of a Crystallographic Group. arXiv: math/0610387.

[FJ93]

F. T. Farrell and L. E. Jones. “Isomorphism conjectures in algebraic \(K\)-theory”. In: J. Amer. Math. Soc. 6.2 (1993), pp. 249–297. url: http://dx.doi.org/10.2307/2152801.

[Lüc00]

Wolfgang Lück. “The type of the classifying space for a family of subgroups”. In: J. Pure Appl. Algebra 149.2 (2000), pp. 177–203. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(98)90173-6.

[Lüc05]

Wolfgang Lück. “Survey on classifying spaces for families of subgroups”. In: Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects. Vol. 248. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2005, pp. 269–322. arXiv: math/0312378. url: http://dx.doi.org/10.1007/3-7643-7447-0_7.

[Ram]

Daniel A. Ramras. Orbit categories, classifying spaces, and generalized homotopy fixed points. arXiv: 1507.06112.

[RS]

David Michael Roberts and Danny Stevenson. Simplicial principal bundles in parametrized spaces. arXiv: 1203.2460.

[Ser71]

Jean-Pierre Serre. “Cohomologie des groupes discrets”. In: Prospects in mathematics (Proc. Sympos., Princeton Univ., Princeton, N.J., 1970). Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1971, 77–169. Ann. of Math. Studies, No. 70.

[Ste51]

Norman Steenrod. The Topology of Fibre Bundles. Princeton Mathematical Series, vol. 14. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1951, pp. viii+224.

[Wei05]

Michael Weiss. “What does the classifying space of a category classify?” In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 185–195. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839512.