Eilenberg-Mac Lane 空間

群 \(G\) と非負整数 \(n\) に対し, \((G,n)\) 型の Eilenberg-Mac Lane space とは, ホモトピー群が \(n\)次で \(G\) に同型になり, それ以外は自明であるような空間のことである。当然, \(n>1\) ならば, \(G\) は Abel群であると仮定する。 逆に \(n=1\) のときは, \(G\) が任意の群になり得るので, \(n>2\) のときとは趣きの異なる空間である。

• \(K(\pi ,1)\)

CW複体として作ればそのホモトピー型は一意的に決まるので, 一つの空間のように考えて, \(K(G,n)\) と表わすのが普通である。

かつては, \(G\) に係数を持つ \((n+1)\)次元 Moore空間 \(M(G,n)\) から始めて, それに cell を貼り付けて, \((n+1)\)次元以上のホモトピー群を消して \(K(G,n)\) を得た。この方法は, functorial ではないが, とりあえず存在を示すことはできる。

その定義から, 弱ホモトピー同値 \[ \Omega K(G,n) \relation {\simeq }{w} K(G,n-1) \] があり, \(\Omega \)-spectrum の基本的な例となっている。

• Eilenberg-Mac Lane spectrum

また, path-loop fibration \[ K(G,n-1) \longrightarrow PK(G,n) \longrightarrow K(G,n) \] があり, この fibration に対する Serre ペクトル系列を用いて, \(K(G,n)\)の(コ)ホモロジーを決定することはできる。 実際, これが最初に Cartan と Serre が行なった方法である。 これは Serreスペクトル系列の良い練習問題であり, 代数的トポロジーを志す人は一度はやってみるべきである。 ただし, コホモロジー作用素の知識が必要になる。

• 素数 \(p\) に対し, Eilenberg-Mac Lane 空間 \(K(\Z /p\Z ,n)\) の \(\F _{p}\) 係数コホモロジー環

胞体を貼り付けて作る方法よりは, Dold と Thom [DT58] がやったように, その Moore空間の無限 対称積, \(\mathrm {Sp}^{\infty }(M(G,n))\) を考える方が, まだましである。 実際, equivariant cohomology に対する Eilenberg-Mac Lane spectrum は, dos Santos と Nie の [SN] で equivariant Dold-Thom theorem を用いて構成されている。

最も systematic なのは, Milgram が行なった bar構成によるもの [Mil67] だろう。 Milgram は bar構成を用いて Abel群 \(G\) に対し \(BG\) が位相アーベル群の構造を持つことを示した。 離散位相により \(G = K(G,0)\) とみなすと \[ K(G,n) = B K(G,n-1) \] と表わせるので, bar spectral sequence を使うことができる。実際 Ravenel と Wilson [RW80] は, bar spectral sequence と Hopf ring の概念を用いて, Eilenberg-Mac Lane 空間のMorava \(K\)理論を決定した。 彼等の議論は ordinary homology に対しても, もちろん, うまくいき, bar spectral sequence のよい練習になる。

• Hopf ring

Ravenel と Wilson によって導入された, この Hopf ring の概念は, 積を持つ spectrum に同伴した無限ループ空間のホモロジーを計算するのに, 非常に有効である。

Peterson [Pet] は, この Ravenel と Wilson の結果を Morava \(E\)-theory に拡張 (deform) している。

Powell は, [Pow06] で Eilenberg-Mac Lane 空間のコホモロジーの unstable \(\mathcal {A}_2\)-module としての endomorphism ring を調べている。 より一般に, \(\F _2\) 上のベクトル空間 \(V\) と \(W\) に対し \[ \Hom _{\mathcal {U}}(H^*(K(V,n)),H^*(K(W,n))) \cong \F _2[\Hom (V,W)] \] であることが示されている。

Simplicial Abelian group としての モデルは, Staic の [Sta13] がある。

Eilenberg-Mac Lane space は, 表現論にも登場するようである。Touzé の [Tou14] など。 Homotopy type theory でも扱えるようになった。

Motivic homotopy theory での類似は, Voevodsky [Voe10] により考えられている。 そのアイデアは, 既に [Voe98] に登場するが, それによると 1987 年頃の Suslin のアイデアらしい。

一般化としては, intersection (co)homology での類似もある。 Chataur と Tanré の [CT] である。

References

[CT]

David Chataur and Daniel Tanré. Natural operations in Intersection Cohomology. arXiv: 2005.04960.

[DT58]

Albrecht Dold and René Thom. “Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 239–281. url: https://doi.org/10.2307/1970005.

[Mil67]

R. James Milgram. “The bar construction and abelian \(H\)-spaces”. In: Illinois J. Math. 11 (1967), pp. 242–250. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256054662.

[Pet]

Eric Peterson. The Morava \(E\)-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces. arXiv: 1109.5989.

[Pow06]

Geoffrey M. L. Powell. “Endomorphisms of \(H^{*}(K(V,n);\F _{2})\) in the category of unstable modules”. In: Math. Z. 254.1 (2006), pp. 55–115. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-005-0918-2.

[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.

[SN]

Pedro F. dos Santos and Zhaohu Nie. A model for equivariant Eilenberg-Mac Lane spectra. arXiv: 0804.0264.

[Sta13]

Mihai D. Staic. “An explicit description of the simplicial group \(K(A,n)\)”. In: J. Aust. Math. Soc. 95.1 (2013), pp. 133–144. arXiv: 1011.4132. url: https://doi.org/10.1017/S1446788713000128.

[Tou14]

Antoine Touzé. “Bar complexes and extensions of classical exponential functors”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 64.6 (2014), pp. 2563–2637. arXiv: 1012.2724. url: https://doi.org/10.5802/aif.2921.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Motivic Eilenberg-MacLane spaces”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 112 (2010), pp. 1–99. arXiv: 0805. 4432. url: https://doi.org/10.1007/s10240-010-0024-9.

[Voe98]

Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^{1}\)-homotopy theory”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Extra Vol. I. 1998, 579–604 (electronic).