Moore 空間や Moore spectrum

係数環が \(\Z /p\Z \) である ホモロジー \(H_*(X;\Z /p\Z )\) は, \(p\) が素数のときは, \(\Z \)係数のホモロジー \(H_*(X;\Z )\) より扱い易く, それと Bockstein 作用素を用いることにより, \(H_*(X;\Z )\) の \(p\)-torsion を調べることができる。

ホモトピー群で最初に同様のことを考えたのは, F.P. Peterson であり, 現在 Moore 空間と呼ばれている空間を用いて, 任意の Abel群に係数を持つホモトピー群を定義 [Pet56] した。

• Abel 群 \(G\) に対し type \((G,n)\) の Moore 空間
• Abel 群に係数を持つホモトピー群

Moore 空間自体は, J.C. Moore の論文 [Moo54] に現れたのが最初ではないか, と思う。Moore は, この論文で既に球面の double suspension の homotopy fiber と mod \(p\) Moore空間の関連について言及しており, 後の Cohen-Moore-Neisendorfer の仕事の布石になっているのがわかる。

Moore 空間の記号には様々なものがある。 Eilenberg-Mac Lane 空間との類似 (双対性) を強調するときは, type \((G,n)\) のMoore空間を \(M(G,n)\) と書くことが多い。非安定ホモトピー論では, \(G\) が巡回群 \(\Z /n\Z \) の場合を考えることが多く, その場合 mod \(n\) Moore空間といい, \(m\)次元のものを \(P^m(n)\) と表わす。 ここで

であることに注意する。

Equivariant 版が, Justin Smith [Smi85a; Smi85b] により調べられていたことを, Clausen の [Cla] で知った。

• equivariant Moore space

Smith によると, equivariant Moore space が存在するかというのは, 1960年に Steenrod により提案された問題らしい。常に存在するとは限らず, Smith は obstruction を調べている。Clausen は, その condensed version を考えている。

安定ホモトピー論における chromatic な視点からは, 奇素数 \(p\) に対する mod \(p\) Mooreスペクトラム は, 球面スペクトラムの次に考えるべき研究対象, つまり type \(1\) complex である。要するに, mod \(p\) Moore 空間と \(K\)理論との間に密接な関係があるということであり, これに関しては Adams の研究 [Ada66] が出発点である。\(2\)-primary な場合は, 少し修正が必要であるが。

• Abel 群 \(G\) に対し type \((G,n)\) の Moore スペクトラム
• 奇素数 \(p\) に対し, mod \(p\) Moore空間上の Adams map

• 奇素数\(p\)については, Adams map は

  \[ P^{2p}(p) \longrightarrow P^3(p) \]
  まで desuspend できるが, それ以上は, desuspend できないこと。 [CN86]

mod \(p\) Moore space が, \(p=2\) の時に奇素数と異なる行動をとることは, Schwede が [Sch10] で述べているように, 安定ホモトピー圏と chain complex のような代数的に起源を持つ triangulated category との一つの違いを表している。

もっとも, 一般の triagulated category で Moore spectrum の類似を構成しようという試みもある。Pauksztello の [Pau10] である。

奇素数での mod \(p\) Moore space 上の Adams map は, \(\mathrm {BP}\)-homology 上では \(v_1\) 倍と対応している。そして, 安定ホモトピー圏では, そのcofiber \(V(1)\) 上に \(p\ge 5\) で \(v_2\) に対応する写像が存在する。これをより一般化した, いわゆる Toda-Smith complex \(V(n)\) や, 更に一般的な type \(n\) complex の概念が, 安定ホモトピー圏の大域的構造を考える際に, 重要な役割を果している。

• Toda-Smith spectra and type \(n\) generalized Moore spectra

\(V(1)\) は mod \(p\) Moore spectrum の間の Adams map の homotopy cofiber (mapping cone) として作るが, その存在と密接に関係しているのが, Moore spectrum の積の存在である。

• mod \(2\) Moore spectrum は単位元を持つ積を持たない。
• mod \(3\) Moore spectrum は, homotopy associative な積を持たない。 [Tod68]
• mod \(p\) Moore spectrum は \(A_{p-1}\)-structure を持つが, \(A_{p}\)-structure を持たない。
• mod \(2^{i}\) Moore spectrum は \(A_{3}\)-structure を持つ。 [Oka84]

これらの結果以降, Moore spectrum の higher homotopy associativity については進歩が無かったが, 最近 Bhattcharya ら [Bha22; BK22] により大きく進展している。 Moore spectrum を, 現代的な方法で spectrum の morphism の Thom spectrum として表し, その写像が \(A_{n}\)-map になるための条件を調べている。

また, higher homotopy commutativity, つまり \(E_{n}\)-structure については, Burklund が [Bur] で調べている。例えば, mod \(8\) Moore spectrum が \(E_{1}\), つまり \(A_{\infty }\)-structure を持つ, mod \(32\) Moore spectrum が \(E_{2}\)-strucure を持つ, 奇素数 \(p\) に対しては mod \(p^{n+1}\) Moore spectrum が \(E_{n}\)-structure を持つことが示されている。

Daniel Davis と Lawson [DL14] は, このような type \(n\) complex の tower で, その limit が sphere spectrum になっているものを考え, それが pro-spectrum の圏では, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つことを示している。 上記の \(V(n)\)上の \(v_{n+1}\) の存在は, \(V(n)\) の積構造の存在と深く関係しているため, この Davis と Lawson の結果は, pro-object として考えると, これらの obstruction が消えていることを示していて, 興味深い。

安定ホモトピー圏の object として考える場合には問題にはならないが, Moore スペクトラムを空間列として表現しようとすると, いくつかの選択肢があり, そのどれも重要である。 これが, unstable な chromatic phenomena を研究する際の一つの困難になっている。

例えば, 次のようなものがある。

• mod \(p\) Moore空間の列 \(\{P^n(p)\}_{n\ge 2}\)
• 奇数次元球面の double suspension \(S^{2n-1} \rarrow {E^2} \Omega ^2 S^{2n+1}\) の homotopy fiber \(W(n)\) を用いる。
• Gray の EHP スペクトラム [Gra93a; Gra93b] として実現する。

まず, 最も基本的なのは, mod \(p\) Moore 空間の列として表わすことである。 mod \(p\) ホモトピー群と mod \(p\) Moore 空間については, Neisendorfer の研究 [Nei80] が, 基本的である。 この中で以下のことが調べられている。

• mod \(p\) Moore空間 の smash product の分解
• mod \(p\) Hurewicz の定理
• mod \(p\) Samelson product

これらを基にして, Cohen と Moore と Neisendorfer は, 一連の論文 [CMN79a; CMN79c; CMN79b; CMN87] で, Moore空間のループ空間の性質を調べ, 球面のホモトピー群の exponent など, 重要な結果を得ている。

• ホモトピー群の exponent の問題

その後, Cohen-Moore-Neisendorfer の研究を引き継ぐ形で, Anick [Ani93], Neinsedorfer [Nei99], Theriault [The01b; The01a; The03b; The03a] らが Moore 空間のループ空間の分解を研究している。

これらの研究, 特に Cohen-Moore-Neisendorfer と Anick の研究に現われた空間や写像をうまく組み合わせると, EHP列の類似が構成できることに, B. Gray は気がついた。それを一般化するプログラムを述べたのが, [Gra93a; Gra93b] である。

• \(S^{2n+1}\{p^k\}\)
• \(T^{2n+1}\{p^k\}\)

Grbic は, より一般の \(2\)-cell complexについて, [Grb06] で “universal space” を構成している。それは, Moore space のときには, \(S^{2n+1}\{p^k\}\) になるものである。

References

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