Type n Complexes

Ravenel の提案に基づいた Hopkins らの仕事 [HS98; DHS88] により, 安定ホモトピー論において \(v_{n}\)周期性が基本的であるという視点が確立された。

彼等は, finite spectrum に対して type \(n\) という概念を定義した。Morava \(K\)-theory を用いるので, 素数 \(p\) を決めて \(p\)-local spectrum で考えないといけないが。 \(p\)-local finite spectrum \(X\) は, \(K(n-1)_*(X)\) が自明で, \(K(n)_{*}(X)\) が非自明になるとき type \(n\) と呼ばれる。

それによると finite spectrum はある \(n\) について type \(n\) になる。よって finite spectrum の安定ホモトピー圏を考えるときには, type \(n\) complex という概念は基本的である。

Type \(n\) complexの例としては次のようなものがある。

• sphere spectrum は, type \(0\) complex
• 素数 \(p\) に対し, mod \(p\) Moore space は, type \(1\) complex
• Toda-Smith の \(V(n)\) [Tod71b; Tod71a; Smi70; Smi71; Smi72; Smi77]
• Steenrod algebra の subalgebra \(A(n)\) を実現するもの
• Jeff Smith による構成

Hopkins と Smith [HS98] の Periodicity Theorem により type \(n\) complex は \(v_{n}\)-self map を持つ。

• \(v_n\)-self map
• Periodicity Theorem

Toda-Smith の \(V(n)\) 場合には各素数 \(p\) と (小さな) \(n\) について \(v_{n}\)-self map の存在が議論されてきたが, \(p\) が小さいと周期が大きくなる傾向がある。

例えば, Moore spectrum \(V(0)\) (\(v_{0}^1=p : S \to S\) の cofiber) の上の \(v_1\)-periodic map については, \(p\) が奇素数のときは Adams map \[ v_1 : \Sigma ^{2p-2}V(0) \longrightarrow V(0) \] があるが, \(p=2\) では, \(v_1\) は存在せず, \[ v_1^4 : \Sigma ^8V(0) \longrightarrow V(0) \] が存在することが知られている。このように, 具体的な periodicity を求めるのは, かなり大変な仕事である。 これの \(v_2\) での類似を, Behrens と Hill と Hopkins と Mahowald が [Beh+08] で行っている。

このようなことについては, Bhattacharya と Egger [BE] の Introduction を読むとよい。 彼等は, \(p=2\) のときに, 周期 \(1\) の \(v_2\)-self map を持つ finite spectrum の class を構成している。

Finite spectrum 上の ring structure については, 以下のようなことが知られている。 Mathew, Naumann, Noel の [MNN15] の Remark 4.3 で Tyler Lawson の observation として述べられている。

• finite spectrum \(R\) が \(E_{\infty }\)-ring structure を持てば, type \(0\) か weakly contractible である。

References

[BE]

Prasit Bhattacharya and Philip Egger. A class of \(2\)-local finite spectra which admit a \(v_2^1\)-self-map. arXiv: 1608.06250.

[Beh+08]

M. Behrens, M. Hill, M. J. Hopkins, and M. Mahowald. “On the existence of a \(v^{32}_{2}\)-self map on \(M(1,4)\) at the prime 2”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 45–84. arXiv: 0710.5426. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832467.

[DHS88]

Ethan S. Devinatz, Michael J. Hopkins, and Jeffrey H. Smith. “Nilpotence and stable homotopy theory. I”. In: Ann. of Math. (2) 128.2 (1988), pp. 207–241. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971440.

[HS98]

Michael J. Hopkins and Jeffrey H. Smith. “Nilpotence and stable homotopy theory. II”. In: Ann. of Math. (2) 148.1 (1998), pp. 1–49. url: http://dx.doi.org/10.2307/120991.

[MNN15]

Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. “On a nilpotence conjecture of J. P. May”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 917–932. arXiv: 1403.2023. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv021.

[Smi70]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. Applications to the stable homotopy of spheres”. In: Amer. J. Math. 92 (1970), pp. 793–856.

[Smi71]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. II. Applications to the stable homotopy of spheres”. In: Amer. J. Math. 93 (1971), pp. 226–263.

[Smi72]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. III”. In: Amer. J. Math. 94 (1972), pp. 875–890.

[Smi77]

Larry Smith. “On realizing complex bordism modules. IV. Applications to the stable homotopy groups of spheres”. In: Amer. J. Math. 99.2 (1977), pp. 418–436.

[Tod71a]

Hirosi Toda. “On spectra \(V(n)\)”. In: Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1971, pp. 273–278.

[Tod71b]

Hirosi Toda. “On spectra realizing exterior parts of the Steenrod algebra”. In: Topology 10 (1971), pp. 53–65.