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安定ホモトピー圏について, 初期の重要な論文として Freyd の [Fre66] がある。この中で述べられている Generating
Hypothesis は, 現在でも安定ホモトピー論の重要な課題である。
スペクトラムの圏のホモトピー圏は, triangulated category になり, Abelian category の derived
category などと一緒に統一して扱うことができる。
しかしながら, 逆に, triangulated category を理解するためには, スペクトラムの圏を知っておいた方がよいのも事実である。A. Neeman
の仕事 [Nee92; Nee96; Nee97] に代表されるように, スペクトラムの圏の概念や定理が, 一般の triangulated category
に導入されるようになっているからである。
スペクトラムの圏のホモトピー圏に似た triangulated category は, 様々な分野でよく現われる。それを axiomatic
に調べようというのが Strickland や Hovey の言うところの “axiomatic stable homotopy theory”
である。これについては, Strickland の survey [Str04] を見るとよい。そこには以下のような例が挙げられている:
- Boardman の stable homotopy category
- \(E(n)\)-local spectra の成す subcategory
- \(K(n)\)-local spectra の成す subcategory
- コンパクト Lie群 \(G\) に対し, complete universe で index の付けられた \(G\)-spectra の homotopy
category
- commutative \(S\)-algebra \(R\) 上の module spectrum の homotopy category
- 可換環 \(R\) に対し, \(R\)-module の derived category
-
Frobenius algebra 上の stable module category
- \(\mathrm {MU}_*(\mathrm {MU})\)-comodule の derived category
奇素数での \(E(1)\)-local spectra の成す triangulated category については, Franke による代数的なモデル [Fra]
がある。 Roitzheim ら [Roi08; BR11] が調べている。
Frobenius algebra の典型的な例は, 体上の有限群の group ring, より一般に体上の有限次元 Hopf algebra
である。 Strickland の survey に書いてあるのも, 実は group ring の場合である。 一般の Frobenius algebra 上の
stable module category が triangulated category になることは, Happel の [Hap88]
を見るとよい。
これらの他に, 以下の圏が, ある著者の公理をみたすが他の著者の公理をみたさない, あるいは, 公理をみたすかどうか分かっていない例として
Strickland の survey に挙げられている。
- 非可換環上の module の derived category
- affine ではない scheme 上の quasi-coherent sheaf の derived category
- incomplete universe で index の付けられた \(G\)-spectra の homotopy category
- 各種 motivic spectra の homotopy category
この内, 2番目の affine でない scheme 上の quasi-coherent sheaf の derived category の場合については,
[Alo+08] で解決されたようである。
90年代に spectrum の理論が精密化されたおかげで, homotopy category を取る前の圏で考えられるようになった。
そのような圏の構造として以下のようなものがある。
スペクトラムの圏の研究は, 80年代終りの Devinatz, Hopkins, Smith の仕事 [DHS88; Rav92] 以降,
飛躍的に進んだ。そのことについては以下にまとめた。
Stable homotopy category の性質を調べるためには, thick subcategory という概念は非常に有用である。
例えば, Chebolu の thesis [Che05] や Oberwolfach の report [Che06] を見るとよい。
Stable homotopy category と1元数体との関係については, Anevski の [Ane] がある。
References
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[Alo+08]
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Rodríguez, and María J. Vale Gonsalves. “The derived category
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[Ane]
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[BR11]
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1004 . 4114. url:
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http://dx.doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_3.
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