Abelian Categories

Abelian category については, Freyd の本 [Fre64] がある。 Theorey and Applications of Categories の reprint として PDF ファイルが入手できるようになった。 Popescu の本 [Pop73] もある。 もちろん, 大抵の ホモロジー代数の本にも, 主要なことはまとめられている。

Eisenbud と Weyman の Buchsbaum に関する AMS Notices の記事 [EW22] によると, Abelian category の概念は Buchsbaum の thesis [Buc54] で最初に考えられたようである。 その内容は [Buc55] として出版されている。

ただ, Buchsbaum の論文では “exact category” という名前が使われていて, Abelian category という名前は, Grothendieck の有名な論文 [Gro57] で導入されたようである。現在では, exact category というと Quillen の意味の exact category を意味することが多い。Barr の意味の exact category [Bar71] のこともあるが。

その動機は, Buchsbaum の論文 [Buc55] の冒頭に書かれているが, Cartan-Eilenberg のホモロジー代数の本 [CE99] で環上の加群に対して行なわれていることのほとんどが, 抽象的な圏と関手の枠組みでできることを示すことが目的だったようである。

普通は additive category で, kernel と cokernel に関するある条件をみたすものとして定義するので, まずは, additive category と kernel, cokernel の概念を理解しないといけない。

• additive category
• kernel と cokernel

Janelidze と Márki と Tholen の [JMT02] によると, factorization system の言葉を用いると Abelian category の定義は簡潔に述べられるようである。

• factorization system を用いた Abelian category の特徴付け

Abelian category の必要性を理解するためにはいくつか例を知っているとよい。 基本的なのは加群の圏であるが, Abelian category に値を持つ functor の圏も Abelian category になる。その部分圏として, Abelian category に値を持つ 層の圏も Abelian になる。

あるAbelian category における可換図式は, そのAbelian category の small subcategory に他ならないが, 任意の Abelian category の small subcategory は, ある環上の加群の圏に埋め込むことができるのである。 つまり, どんな抽象的な Abelian category であっても「元を取って diagram chasing する」ことができる。

• 任意の small Abelian category は, ある環上の module の圏に fully faithful に埋め込むことができる。

この定理は, ほぼ同時期に複数の人によって証明されたようである。例えば, [Lub60; Mit64] など。 また Freyd の Abelian category の本 [Fre64] は, この定理を最終目標にしている。

Small Abelian category は, 幾何学的対象の不変量としても現れる。例えば, ある代数多様体上の coherent sheaf のなす圏など。その derived category を考える場合が多いが。よって small Abelain category や derived category の不変量があれば, 幾何学的対象の不変量が得られる。

Small Abelian category の不変量としては, Hall algebra (Ringel-Hall algebra) というものがある。

• Hall algebra

ホモロジー代数を行なうためには, 以下の概念が必要である。

• injective object
• Abelian category が enough injectives を持つこと
• projective object
• Abelian category が enough projectives を持つこと

Frobenius 環上の module の成す圏のように projectives と injectives が一致する場合もある。

• Frobeinus category

ホモロジー代数を行なうためには, もちろん, 完全列の概念も必要である。 Abelian category の定義から, short exact sequence が基本的であるが, より限定された列のみ exact と考える場合がある。 例えば, 可換環 \(k\) 上の algebra \(A\) が与えられたとき, \(k\)上 split するような \(A\)-module の short exact sequence のみ “exact” と考えたりする。このような状況を扱うために, Mac Lane [Mac95] は XII§4 で proper class of extensions という概念を導入した。 これは, Hovey [Hov02] により, Abelian category 上の model structure を調べる際に用いられている。 今では, Quillen の意味の exact category で考えるのが普通だろう。

• proper class of extensions
• exact category
• Abelian model category

Abelian model category の特徴付けは, Hovey [Hov02] により cotorsion pair を用いて得られているが, cotorsion pair のように Abelian category を2種類の object で表す方法として, torsion pair がある。

• torsion pair
• cotorsion pair

モデル圏は, Quillen [Qui67] により定義された概念であり, Quillen は, モデル圏で議論をすることを homotopical algebra と言った。 代数的トポロジーの観点からは, homological algebra を行なう際にも, できるだけ homotopical algebra の言葉で理解するようにした方がよいかもしれない。例えば, Goerss と Schemmerhorm の [GS07] を見るとよい。

部分圏としては, Serre subcategory や localizing subcategory が良く使われる。

• Serre subcategory
• localizing subcategory [Gab62]

Serre subcategory は, この Stacks project のページに書かれているように, Serre が [Ser53] で導入した Abel 群の class を一般化したものである。Serre は, ホモトピー群や ホモロジー群の特定の素数 \(p\) に関する情報だけを取り出すために, class of Abelian groups の概念を導入したが, その目的のためにはもはや使われていない。 空間レベルで 局所化できるようになったからである。 しかしながら, その定義は Serre subcategory としてホモロジー代数で使われ続けているわけである。

人によっては, Serre subcategory のことを thick subcategory と言ったりするし, Serre subcategory の条件自体も2種類あって, 論文を読むときには注意しないといけない。

任意の colimit で閉じていて, filtered colimit と finite limit が可換, そしてある object の族で生成されているような Abel category を Grothendieck category あるいは Grothendieck Abelian category という。 解説として, Garkusha の [Gar01] がある。

• Grothendieck category

任意の colimit で閉じているが, limit で閉じていない Abel category の例があるか, という MathOverflow の質問は, 2012年に登場して以来しばらく誰も回答できなかったが, 2014年に Rickard が反例を見付けた。それが論文になったのが [Ric20] である。

Grothendieck と Verdier [Ver96] は, ホモロジー代数を行なう際には, ホモロジーを取るべきではない, ということに気づいた。より正確に言えば, Abelian category \(\mathcal {A}\) のobject \(M\) を調べるときに, その resolution \(0 \to M \to C^{\bullet }\) を取り, functor \(F\) を apply してから homology を取る \[ M \Longrightarrow C^* \Longrightarrow F(C^*) \Longrightarrow H(F(C^*)) \] という流れの中で, ホモロジーを取る前の chain complex (resolution) の level で考える方が自然である, ということである。 そのために定義されたのが Abel category の derived category であり, その抽象化としての triangulated category である。

• chain complex の quasi-isomorphism (quism)
• derived category
• triangulated category

導来圏を定義するときには quasi-isomorphism を同型とみなすが, 代数的トポロジーの視点からは, その同一視を行なう前の段階で考えた方が自然である。

• chain complex の圏が, Abelian model category になること。

Abelian category に対する操作として, Deligne tensor product と呼ばれるものがある。 二つの Abelian category \(\bm {C}\) と \(\bm {D}\) から新しい Abelian category \(\bm {C}\boxtimes \bm {D}\) を作る操作である。 定義は, 例えば, Etingof らの [Eti+15] の Definition 1.11.1 にある。

• Deligne tensor product

その \(2\)-category 版が Décoppet [Déc24] により考えられている。

Abelian category は, ホモロジー代数を行なう場として導入されたものであり, ホモロジー代数が発展するにつれ, 当然であるが, 様々な一般化や変種が考えられている。

• Abelian category の一般化や変種

References

[Bar71]

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[Buc54]

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[Ric20]

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[Ser53]

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[Ver96]

Jean-Louis Verdier. “Des catégories dérivées des catégories abéliennes”. In: Astérisque 239 (1996). With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note by Georges Maltsiniotis, xii+253 pp. (1997).