Factorization Systems

モデル圏における fibration と trivial cofibration, もしくは trivial fibration と cofibration のように, 互いに lifting (extension) property を持つような morphism の class (subcategory) の組で, 任意の morphism がそれらの合成に分解できるようなものを factorization system という。Loregian と Virili の [LV] によると, そのような構造は Mac Lane の1948年の論文 [Mac48] で既に現れている, らしい。

定義が明確になったのは, Freyd と Kelly の [FK72] のようである。Fleyd と Kelly は, 単に factorization と呼んでいるが, 現在では, factorization system と呼ぶのが普通である。

• left lifting property
• right lifting property
• pre-factorization system
• factorization system

Gould の [Gou] では, Adamek らの本 [AHS06] が参考文献として挙げられている。

Freyd と Kelly は lifting に一意性を要求しているが, モデル圏の定義で登場するものは, そのような一意性はない。そのため, 一意性の条件を外した weak factorization system の概念が必要になる。

• weak factorization system

Garner の [Gar] などによると次のような種類がある。

• orthogonal factorization system [FK72]
• (co)reflextive factorization system
• torsion theory
• unique factorization system [Ane]
• strict factorization system [Gra00]
• enriched factorization system [Luc14].
• comprehensive facotorization system [BK17].
• Cartesian factorization system [Mye]
• active/inert factorization system [Ber22]

Torsion theory を factorization system とみなすことができる, というのは, Risicky と Tholen [RT07] の結果であるが, その元になった Cassidy, Hebert, Kelly の仕事 [CHK85] は1985年に出版されている。関連した構造として, Loregian と Virili [LV; LV20] は triangulated factorization system というものを導入している。

• triangulated factorization system

Anel は, [Ane] で unique factorization system から生成される Grothendieck topology について調べている。Zariski topology や étale topology など重要なものが unique factorization system から生成されるようである。 この Math Overflow の質問に対する回答にもあるように, 可換環の integral closure なども, この文脈で扱えるらしい。

Hilbert 空間の category での factorization system を考えているのは, Heunen [Heu] である。

\(2\)-category の上でも考えられる。Clementino と Franco の [CL16] など。

\((\infty ,1)\)-category版は, Kositsyn [Kos] で考えられている。

References

[AHS06]

Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker. “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 17 (2006). Reprint of the 1990 original [Wiley, New York; MR1051419], pp. 1–507. url: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17.pdf.

[Ane]

Mathieu Anel. Grothendieck topologies from unique factorisation systems. arXiv: 0902.1130.

[Ber22]

Clemens Berger. “Moment categories and operads”. In: Theory Appl. Categ. 38 (2022), Paper No. 39, 1485–1537. arXiv: 2102.00634. url: https://doi.org/10.5486/pmd.1991.38.1-2.06.

[BK17]

Clemens Berger and Ralph M. Kaufmann. “Comprehensive factorisation systems”. In: Tbilisi Math. J. 10.3 (2017), pp. 255–277. arXiv: 1710.09438. url: https://doi.org/10.1515/tmj-2017-0112.

[CHK85]

C. Cassidy, M. Hébert, and G. M. Kelly. “Reflective subcategories, localizations and factorization systems”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 38.3 (1985), pp. 287–329.

[CL16]

Maria Manuel Clementino and Ignacio López Franco. “Lax orthogonal factorisation systems”. In: Adv. Math. 302 (2016), pp. 458–528. arXiv: 1503.06469. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.07.028.

[FK72]

P. J. Freyd and G. M. Kelly. “Categories of continuous functors. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 2 (1972), pp. 169–191. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(72)90001-1.

[Gar]

Richard Garner. Cofibrantly generated natural weak factorisation systems. arXiv: math/0702290.

[Gou]

Miles Gould. The Categorification of a Symmetric Operad is Independent of Signature. arXiv: 0711.4904.

[Gra00]

Marco Grandis. “Weak subobjects and the epi-monic completion of a category”. In: J. Pure Appl. Algebra 154.1-3 (2000). Category theory and its applications (Montreal, QC, 1997), pp. 193–212. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(99)00191-7.

[Heu]

Chris Heunen. Categorical aspects of polar decomposition. arXiv: 1012.4526.

[Kos]

Roman Kositsyn. Factorization systems in \(\infty \)-categories. arXiv: 2105.14654.

[Luc14]

Rory B. B. Lucyshyn-Wright. “Enriched factorization systems”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 18, 475–495. arXiv: 1401.0315. url: https://doi.org/10.1080/14689367.2013.835791.

[LV]

Fosco Loregian and Simone Virili. Factorization systems on (stable) derivators. arXiv: 1705.08565.

[LV20]

Fosco Loregian and Simone Virili. “Triangulated factorization systems and \(t\)-structures”. In: J. Algebra 550 (2020), pp. 219–241. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.12.021.

[Mac48]

Saunders MacLane. “Groups, categories and duality”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 34 (1948), pp. 263–267. url: https://doi.org/10.1073/pnas.34.6.263.

[Mye]

David Jaz Myers. Cartesian Factorization Systems and Grothendieck Fibrations. arXiv: 2006.14022.

[RT07]

Jiří Rosický and Walter Tholen. “Factorization, fibration and torsion”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 295–314. arXiv: 0801.0063.