Grothendieck Abelian Categories

Abelian category に関する条件として, Grothendieck が [Gro57] で導入した AB1 から AB6 がある。AB1 と AB2 は Abelian category のための条件であるが, 残りの条件の中で, 現在最も良く使れるのは, filtered colimit と finite limit が可換であるという AB5 だろう。Grothendieck は colimit や limit という言葉は使っていないが。 もっとも, AB3 は直和で閉じているということなので, Abelian category では colimit で閉じているということと同値であり, cocomplete という言い方の方が一般的だろう。

この AB3 と AB5, そして generator を持つという3つの条件をみたすものを Grothendieck Abelian category あるいは Grothendieck category という。 解説として, Garkusha の [Gar01] がある。

「自然な」 Abelian category の例は, Grothendieck category になっていることが多い。例えば, 環上の加群の category とか scheme 上の quasicoherent sheaf の category とか。

基本的な性質として, locally presentable である, というものがある。Beke の [Bek00] など。

有名な定理として, 加群の category との関係を述べる Gabriel-Popescu theorem [PG64] がある。簡単に言うと, Grothendieck category はある環上の module category の localization, ということである。

• Gabriel-Popescu theorem

Grothendieck category の中で, object の projective dimension と injective dimension の有限性に関する条件を仮定したものとして Enochs ら [EEG08] は Gorenstein category を導入している。 ただ, small category \(C\) の表現の category \(\lMod {C}\) を考えるとき, \(\lMod {C}\) が Enochs らの意味で Gorenstein category になるとき \(C\) を “Gorenstein category” と呼びたくなる。そこで Dell’Ambrogio ら [DSŠ17] は, Enochs らのものを locally Gorenstein category といい, \(\lMod {C}\) が locally Gorenstein になるとき \(C\) を Gorenstein category と呼ぶことを提案している。

• locally Gorenstein category
• Gorenstein category

Grothendieck category 全体の \(2\)-category の構造を考えている人もいる。 Stafford と Van den Bergh [SB01] や Rosenberg [Ros98] は morphism として left adjoint を用いている。 Kontsevich と Rosenberg [KR] は left exact left adjoint を morphism としている。

Monoidal structure を考えているものとして, [BC14], [Bra], [DR22] などがある。

Grothendieck category の一般化としては, 例えば presentable stable \(\infty \)-category がある。 Lurie は [Lur] で Gabriel-Popescu theorem の \(\infty \)-category 版を証明している。

• stable \(\infty \)-category

Imamura [Ima22] による enriched version もある。

• enriched Abelian category

References

[BC14]

Martin Brandenburg and Alexandru Chirvasitu. “Tensor functors between categories of quasi-coherent sheaves”. In: J. Algebra 399 (2014), pp. 675–692. arXiv: 1202.5147. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.050.

[Bek00]

Tibor Beke. “Sheafifiable homotopy model categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129.3 (2000), pp. 447–475. arXiv: math/0102087. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100004722.

[Bra]

Martin Brandenburg. Tensor categorical foundations of algebraic geometry. arXiv: 1410.1716.

[DR22]

Ivan Di Liberti and Julia Ramos González. “Exponentiable Grothendieck categories in flat algebraic geometry”. In: J. Algebra 604 (2022), pp. 362–405. arXiv: 2103 . 07876. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2022.03.040.

[DSŠ17]

Ivo Dell’Ambrogio, Greg Stevenson, and Jan Šťovíček. “Gorenstein homological algebra and universal coefficient theorems”. In: Math. Z. 287.3-4 (2017), pp. 1109–1155. arXiv: 1510 . 00426. url: https://doi.org/10.1007/s00209-017-1862-7.

[EEG08]

E. Enochs, S. Estrada, and J. R. García-Rozas. “Gorenstein categories and Tate cohomology on projective schemes”. In: Math. Nachr. 281.4 (2008), pp. 525–540. arXiv: 0711 . 1181. url: https://doi.org/10.1002/mana.200510622.

[Gar01]

G. A. Garkusha. “Grothendieck categories”. In: Algebra i Analiz 13.2 (2001), pp. 1–68. arXiv: math/9909030.

[Gro57]

Alexander Grothendieck. “Sur quelques points d’algèbre homologique”. In: Tohoku Math. J. (2) 9 (1957), pp. 119–221. url: https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839.

[Ima22]

Yuki Imamura. “Grothendieck enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 30.5 (2022), pp. 1017–1041. arXiv: 2105.05108. url: https://doi.org/10.1007/s10485-022-09681-1.

[KR]

Maxim Kontsevich and Alexander L. Rosenberg. Noncommutative spaces and flat descent. url: http://www.mpim-bonn.mpg.de/Research/MPIM%20Prurl%20Series/.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[PG64]

Nicolae Popescu and Pierre Gabriel. “Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 258 (1964), pp. 4188–4190.

[Ros98]

Alexander L. Rosenberg. “Noncommutative schemes”. In: Compositio Math. 112.1 (1998), pp. 93–125. url: https://doi.org/10.1023/A:1000479824211.

[SB01]

J. T. Stafford and M. van den Bergh. “Noncommutative curves and noncommutative surfaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.2 (2001), pp. 171–216. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00894-1.