圏と関手の言葉を用いると, 様々な概念が統一的に扱えるようになる。その良い例が, limit と colimit である。
Limit は, かつては逆極限 (inverse limit) とか射影的極限 (projective limit) と呼ばれていたものである。直積や
pull-back なども limit の一種である。 Dwyer と Spalinski のモデル圏の解説 [DS95] には, 分かりやすい (co)limit
の解説も含まれている。
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直積 (product) の定義
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引き戻し (pull-back) の定義
- equalizer の定義
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limit の定義
Colimit は, かつては直極限 (direct limit) などと呼ばれていたものである。 直和や push-out なども colimit
である。
- 直和 (sum) あるいは余積 (coproduct) の定義
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push-out の定義
- coequalizer の定義
-
colimit の定義
Limit と colimit の 定義は universal property で与えられるのが普通である。 それを言い換えると, adjoint
functor の言葉になる。
- \(\bm{X}\) を 小圏, \(\bm{C}\) を圏とする。 \(\category{Funct}(\bm{X},\bm{C})\) を, \(\bm{X}\) から \(\bm{C}\) への関手の成す圏とし \[ \Delta : \bm{C} \longrightarrow \category{Funct}(\bm{X},\bm{C}) \] を constant diagram functor とすると, \[ \lim : \category{Funct}(\bm{X},\bm{C}) \longrightarrow \bm{C} \] は \(\Delta \)
の right adjoint functor である。また \[ \colim : \category{Funct}(\bm{X},\bm{C}) \longrightarrow \bm{C} \] は \(\Delta \) のleft adjoint functor である。
このことから, 次のことがすぐ分かる。
Limit を取らないで, 図式を1つの object として考えることも重要である。 これも Grothendieck のアイデアなのだろうか。
SGA4 [SGA4-172] の exposé 1 に詳しく書かれている。 ind-object と pro-object と呼ばれるものである。
ホモトピー論では, pro-object の方がよく使われる。
Limit と colimit の可換性については, よく知られているのは filtered colimit と finite limit
の場合である。その一般化としては, Bjerrum, Johnstone, Leinster, Sawin の [Bje+] などがある。
任意の limit と colimit で閉じている圏は, 様々な構成が自由にできて非常に便利である。 よって, モデル圏の条件の一つにもなっている。
上の最後の三つのことを確かめるには, limit と colimit の具体的な構成が必要である。普通は (co)equalizer
で構成する。
- 集合の圏での limit と colimit の構成
- 位相空間の圏での limit と colimit の構成
- Abel群の圏での limit と colimit の構成
Abel群の圏, より一般にAbel圏での sequential (co)limit は, 様々な場面で現われるので, 嫌でも慣れ親しむしかない。 また
sequential limit に対しては, その derived functor である \(\lim ^1\) も知っておく必要がある。
Abelian category での sequential limit と \(\lim ^1\) については, Eilenberg と Moore の [EM62]
を読むとよいだろう。 日本語なら [荒木捷75] に解説がある。 Abel群の圏での重要な性質としては, Mittag-Leffler
condition の下で \(\lim ^1\) が消えることがあるが, これは一般の Abelian category では成り立たない。 Roosの [Roo61]
での「定理」に対する反例が, Neeman により [Nee02] で与えられている。
その後, Roos は, [Roo06] で Mittag-Leffler condition の下で \(\lim ^1\) が消えるためにはどのよう条件が必要かを考察している。
より一般の limit や colimit の derived functor については, あまり詳しく扱ったものがないようである。例えば, Oliver
の [Oli94] には limit の derived functor を計算するための resolution について書いてある。 後は Bousfield
と Kan の [BK72] ぐらいだろうか。 と思っていたら, 最近 Ivanov と Mikhailov の [IM] が出た。
群のホモロジーなどに使うことを考えている。
Limit や colimit の derived functor のホモトピー版が, Bousfield と Kan の本のタイトルにもある,
ホモトピー極限である。
Colimit で閉じている圏では, 有限でない morphism の列の合成が考えられる。
これは, 例えば cofibrantly generated model category を扱う際に必要になる。
Small category を colimit で閉じた圏にする (cocompletionをとる) するためには, presheaf
の圏を考えれば良い, というのが, Day と Lack の [DL07]である。
定義域の圏も値域の圏も同じ圏で enrichされている場合には, indexed (co)limit あるいは weighted
(co)limit という enrichment も考慮に入れた (co)limit の一般化を考えるべきである。Kelly の [Kel82]
に詳しい。
\(2\)-category での極限には様々な問題があり, 注意が必要である。Fiore の [Fio06] は, conformal field theory
の基礎付けのために, \(2\)-category の limit などを考えたものである。
References
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[Bje+]
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Marie Bjerrum, Peter Johnstone, Tom Leinster, and William
F. Sawin. Notes on commutation of limits and colimits. arXiv:
1409.7860.
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[BK72]
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and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin:
Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.
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[DL07]
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Pure
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url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.019.
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[DS95]
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[EM62]
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[Fio06]
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[IM]
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[Nee02]
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Amnon Neeman. “A counterexample
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http://dx.doi.org/10.1007/s002220100197.
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Bob Oliver. “Higher limits via Steinberg
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[Roo06]
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Jan-Erik Roos. “Derived functors of inverse limits revisited”.
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Jan-Erik Roos. “Sur les foncteurs dérivés de \(\underleftarrow \lim \). Applications”. In:
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[SGA4-172]
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Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1:
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Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964
(SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L.
Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B.
Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.
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[荒木捷75]
-
荒木捷朗. 一般コホモロジー. Vol. 4. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.
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