新しいモデル構造の作り方

ある圏の上に model structure を定義するのは大変である。よく使われる方法として, cofibrantly generated であることを示す, というのがある。少数の基準となる cofibration と cofibration かつ weak equivalence になる morphism (trivial cofibration) を決めて, そこから生成するのである。

一般に, model structure であること証明するときに難しいのは, (functorial) factorization の存在であるが, cofibrantly generated だと, Quillen の small object argument [Qui67] により factorization が構成できる。

• cofibrantly generated model category

逆に, cofibrantly generated でない場合, 例えば, 位相空間の圏の Strøm model structure のような場合, functorial factorization を作るのが大変である。 これについては, Bartel とRiehl [BR13] が考えている。特に, 位相空間の圏で enrich された圏に Strøm 型のモデル構造があることを示している。 元になったのは, Garner の [Gar09] のようである。

Cofibrantly generated model category は, model structure を adjoint functor により別の圏に移すときにも便利である。より正確には, 関手 \(F: \bm {M}\to \bm {N}\) が right adjoint \(U:\bm {N}\to \bm {M}\) を持ち, \(\bm {M}\) が cofibrantly generated model structure を持つとき, \(\bm {M}\) のモデル構造を移して \(\bm {N}\) にモデル構造を定義することができる。 例えば, Schwede と Shipley の [SS00] の結果は, 本質的にはこの “transfer principle” から従う。

• transfer principle

Berger と Moerdijk の operad の圏のモデル構造についての論文 [BM03] の §2.5 によると, transfer principle の一般的な statement として最初に出版されたのは, Crans の [Cra95] らしい。また, その特別な場合として, Quillen の path object argument がある。

• path object argument

Adjunction で model structure を移す方法としては, Hinich の [Hin97] や Lyubashenko の [Lyu20] で示されている方法がある。元になるのが, chain complex や differential graded module の category に限定されるが。

Cofibrantly generated model structure の双対として fibrantly generated なものを考えても良さそうに思えるが, あまり目にすることはない。 Isaksen の [Isa04] や Bayeh らの [Bay+15] ぐらいか。

• fibrantly generated model structure

Adjoint functor により model structure を移してできた model structure は, cofibrantly generated の場合は, right induced model structure と呼ばれる。 そして fibrantly generated の場合のようなものは left induced model structure と呼ばれる。 この手のことが現在最も一般的に扱われているのは, Hess らの [Hes+17] だろうか。 Hess らの論文の証明の間違いは, Garner らの [GKR] で修正されている。

• right induced model structure
• left induced model structure

既存のモデル構造から新しいモデル構造を作る方法としては, 局所化は重要な手法である。 つまり, weak equivalence の class に新たに morphism を追加して weak equivalence の class を大きくした model structure を作るのである。 Bousfield の homology に関する localization [Bou75] が出発点になっているので Bousfield localization と呼ばれることが多いように思う。

• Bousfield localization

これについては, Hirschhorn の本 [Hir03] にまとめられているので, まずはそこを見るべきだろう。

逆に, weak equivalence の class を小さくする試みは, これまでに見たことがなかった。 それをやっているのが Corrigan-Salter の [Cor16] である。

1つの圏に2つのモデル構造がある場合, その2つをミックスしたモデル圏を作ることもできる。Cole の [Col06] である。例えば, 位相空間の圏の Quillen model structure と Strøm model structure をミックスし, 弱ホモトピー同値を weak equivalence, Hurewicz fibration を fibration とするモデル構造を作ることができる。

別のミックスの方法として, 2つの model category の homotopy fiber product, 更に一般的に, model category の diagram の homotopy limit を考えているのは, Bergner [Ber11; Ber12] である。

• model category の図式の homotopy limit

ある model category から, weak equivalence を増やしその分 fibration と cofibration を減らした model structure を作ることを, Stanculescu [Sta15] は \(\ell \ell \)-extension と呼んで調べている。

モデル構造を持たない small category をモデル圏に拡張した universal model category を考えているのはDugger [Dug01] である。Universal enveloping model category とも言うべきものである。その構成には, Rosicky と Tholen の [RT03] もある。

• universal model category

他に新しい model struture の構成方法としては, 以下のようなものがある。

• monoidal model category で enrich された category の model structure
• pro-object のなす圏の model structure

• モデル圏の simplicial object の圏や cosimplicial object の圏, より一般に Reedy model structure

  更に一般に model category の中の図式の圏の model structure

• モデル圏の comma category ([Hir03; Hir21])

• small category から simplicial set の圏への functor の成す圏のモデル構造 (Fritsch と Golasinski の [FG98])

  特に, \(G\)-simplicial set の圏のモデル構造

• topological category から位相空間の圏への functor の成す圏のモデル構造 (Piacenza の [Pia91])

  特に, 位相群の作用を持つ空間の圏のモデル構造

• 群 \(G\) が small category \(I\) に作用するときの, \(G\)-model category での \(I\) で index された \(G\)-diagram の圏のモデル構造 (Dotto と Moi の [DM16])
• ある圏 (smallでなくてもよい) から simplicial set の圏への small functor の圏のモデル構造 (ChornyとDwyer [CD09])
• model category の diagram の Grothendieck construction (Harpaz と Prasma の [HP15])
• combinatorial model category の cofibrant object の成す category の上の model structure (Ching と Riehl の [CR14])
• monoidal model category 上の colored operad 上の algebra の category の上の model structure (White と Yau の [WY18])
• model category の marked object の成す model category [Isa]
• model category の adjunction bundle に値を持つ twisted functor の圏 ([HR])

Twisted functor の圏の model structure は Hüttemann の [Hüt10] で toric variety 上の quasi-coherent sheaf の derived category を homotopy sheaf の圏の homotopy category として記述するのに用いられている。

Small ではない圏から model category への functor 全体に model structure を定義する必要性は, 例えば Goodwillie calculus などを考えれば分かる。実際, Biedermann と Chorny と Röndig の [BCR07] で,それを用いて Goodwillie の結果が改良されている。

References

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