位相空間の圏のモデル構造

Quillen の モデル圏は, 位相空間のホモトピー論の枠組みを, 他の圏でも用いるための概念である。 モデル圏を理解するためには, まずは位相空間のモデル圏を理解すべき, と言いたいところであるが, 位相空間の圏のモデル構造はかなり複雑であり, 初めてモデル圏を学ぶ人にはとっつきづらいだろう。

• 位相空間の圏は, Serre fibration を fibration, 弱ホモトピー同値を weak equivalence としてモデル圏になる。
• コンパクト生成弱 Hausdorff空間の圏も, Serre fibration を fibration, 弱ホモトピー同値を weak equivalence としてモデル圏になる。

この弱ホモトピー同値を weak equivalence とするモデル構造は, Quillen [Qui67] によるものであり, ある意味で最も標準的なモデル構造である。 Hovey の本 [Hov99] にも詳しく解説されているが, それより Peter May の note [May] を読むことをお勧めする。 Hirschhorn による解説 [Hir19] もある。

この May の note のファイル名からも分かるように, このモデル構造を定義する際には, small object argument が必要になる。

• small object argument

このモデル構造は, simplicial set のモデル圏と相性が良い。

• 幾何学的実現と singular simplicial set functor は, simplicial set のモデル圏とコンパクト生成空間のモデル圏の間の Quillen 同値を与える。

位相空間の fibration や cofibration を勉強したことのある人なら, 上のモデル構造に違和感を抱くのが普通だろう。 例えば, cofibration が変である。 位相空間の圏 (コンパクト生成空間の圏) がより自然なモデル圏の構造, つまり fibration を Hurewicz fibration, cofibration を NDR pair の包含写像 (closed cofibration), weak equivalence をホモトピー同値としたもの, としてモデル圏になるのではないか, と思うのではないだろうか。

それについては, 以下の結果がある。

• 位相空間の圏の Strøm によるモデル構造 [Str72]
• コンパクト生成空間の圏の Hastings によるモデル構造 [Has74]

この Strøm によるモデル構造については, Dwyer と Spalinski の解説 [DS95] でも触れられている。最近では, May と Sigurdsson の [MS06] で使われている。

Cole [Col06a] は, Strøm model structure を位相空間の category で enrich された場合に一般化しようとしているが, この MathOverflow の質問に対する回答によると, その論文には間違いがあるらしい。 それを修正したのが, Barthel と Riehl の[BR13] であり, 彼等の手法によると, 位相空間論の議論を避けることができるようである。

この Strømの モデル構造は, 古典的なホモトピー論をモデル圏の言葉に翻訳するのにはよいが, Kan fibration の 幾何学的実現が Serre fibration である [Qui68] ことを考えると, Quillen によるモデル構造の方がホモトピー論では扱い易いと言えるだろう。 特異ホモロジーの構成などを考えると, 現代のホモトピー論では, simplicial set のモデル圏と同値 ( Quillen 同値)なところで議論をした方が都合がよいことが多い。

もちろん, 実際には弱ホモトピー同値ではなく, ホモトピー同値で議論しなければならないこともあるし, Hurewicz fibration を使っても弱ホモトピー同値であることしか証明できない場合もある。May と Sigurdsson [MS06] が言うように, どちらかを選ぶのではなく両方を使うのがよさそうである。Cole の結果 [Col06b] によりこの二つのモデル構造を mix することができるので, 必要に応じて組み合わせればよい。例えば, 次のモデル構造では, cofibrant object が CW複体のホモトピー型を持つ空間と一致する。

• 位相空間の圏に, weak equivalence を弱ホモトピー同値, fibration を Hurewicz fibration とするモデル構造がある。

位相空間の圏には, これら以外にもいくつかのモデル構造が知られている。

• \(n\)次元までの ホモトピー群の同型を誘導する写像を weak equivalence とするもの。 [EH95]
• 有限複体 \(L\) を fix し \([L]\)-homotopy group の同型を誘導する写像を weak equivalence とするもの。 [CK03]

位相空間の圏を拡張した圏に model structure を定義することも考えられている。 例えば, proper homotopy のための exterior space の圏のモデル構造については, [GGH98; GGH04] がある。

• exterior space の simplicial model structure

Ebel と Kapulkin [EK] は, Quillen による位相空間の圏の model structure の構成を抽象化した枠組みを構築し, それが locale や pseudotopological space の category に適用できることを示している。

群 \(G\) の作用を持つ空間, つまり \(G\)-space の圏については, MathOverflow で質問されている。そこに Peter May による回答があり, 自身の著作の PDF への link が張ってある。最近では Guillou と [GMR19] という論文を書いている。

一つの群を fix するのではなく, 様々な群による作用をまとめて扱う方法については, Harpaz と Prasma [HP17] が考えている。そこでは, [HP15] で導入された model category の diagram の Grothendieck construction が使われている。

References

[BR13]

Tobias Barthel and Emily Riehl. “On the construction of functorial factorizations for model categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 1089–1124. arXiv: 1204.5427. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.1089.

[CK03]

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[Col06a]

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[Col06b]

Michael Cole. “Mixing model structures”. In: Topology Appl. 153.7 (2006), pp. 1016–1032. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2005.02.004.

[DS95]

W. G. Dwyer and J. Spaliński. “Homotopy theories and model categories”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 73–126. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50003-1.

[EH95]

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[EK]

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[GGH04]

J. M. Garcia-Calcines, M. Garcia-Pinillos, and L. J. Hernandez-Paricio. “Closed simplicial model structures for exterior and proper homotopy theory”. In: Appl. Categ. Structures 12.3 (2004), pp. 225–243. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:APCS.0000031087.83413.a4.

[GGH98]

J. M. García-Calcines, M. García-Pinillos, and L. J. Hernández-Paricio. “A closed simplicial model category for proper homotopy and shape theories”. In: Bull. Austral. Math. Soc. 57.2 (1998), pp. 221–242. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0004972700031610.

[GMR19]

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[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975). url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001312.

[Hir19]

Philip S. Hirschhorn. “The Quillen model category of topological spaces”. In: Expo. Math. 37.1 (2019), pp. 2–24. arXiv: 1508.01942. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2017.10.004.

[Hov99]

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[HP15]

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[HP17]

Yonatan Harpaz and Matan Prasma. “An integral model structure and truncation theory for coherent group actions”. In: Israel J. Math. 221.2 (2017), pp. 511–561. arXiv: 1506.04117. url: https://doi.org/10.1007/s11856-017-1551-6.

[May]

J.P. May. Proofs of the model axioms for Top. url: http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/SmallObject.pdf.

[MS06]

J. P. May and J. Sigurdsson. Parametrized homotopy theory. Vol. 132. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2006, pp. x+441. isbn: 978-0-8218-3922-5; 0-8218-3922-5. url: https://doi.org/10.1090/surv/132.

[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Qui68]

Daniel G. Quillen. “The geometric realization of a Kan fibration is a Serre fibration”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), pp. 1499–1500. url: https://doi.org/10.2307/2036240.

[Str72]

Arne Strøm. “The homotopy category is a homotopy category”. In: Arch. Math. (Basel) 23 (1972), pp. 435–441. url: https://doi.org/10.1007/BF01304912.