コファイブレーション

その名前が示唆するように, cofibration は, fibration の 双対概念である。 より正確には, homotopy lifting property (covering homotopy property) の双対概念である homotopy extension property を用いて定義される。

• ホモトピー拡張性質 (homotopy extension property)

ただ, 歴史的には homotopy extension property は, homotopy lifting property を双対化して導入されたのではなく, 別の動機から fibration の概念より前に導入されている。Whitehead の本 [Whi78] によると, その重要性に最初に気がついたのは Borsuk であり, 1937年の論文 [Bor37] に既に登場するが, fibration (当時は fiber space と呼ばれていたが) は, Hurewicz と Steenrod により 1941 年の論文 [HS41] で導入されたものである。もっとも, この論文での fiber space の定義は, 現 在の fibration の定義とは大きく異なるものであるが。

位相空間の圏での fibration には, 任意の位相空間に対し homotopy lifting property を持つ Hurewicz fibration と, CW複体に対し homotopy lifting property を持つ Serre fibration ががあるが, cofibration は単に cofibration と言うことが多い。 その際には, 任意の位相空間に対しホモトピー拡張性質を持つものという意味で用いられることが多い。

この意味で cofibration という言葉を最初に使ったのは, 恐らく Støm [Str66] だと思う。

ホモトピー拡張性質の変種としては, 以下のようなものがある。

• weak homotopy extension property (WHEP)
• rather weak homotopy extension property (RWHEP)
• very weak homotopy extension property (VWHEP)

WHEP は Puppe の論文 [Pup67] に登場するが, ドイツ語なので読みづらい。Brown の本 [Bro06] の Exercise にもあるので, そちらを見た方がよいだろう。説明の無い記号があるので, その意味を考えないといけないが。

後者2つについても Brown の本にある。Kieboom [Kie77] は, 任意の空間に対し RWHEP を持つことと任意の空間に対し VWHEP を持つことが同値であることを示しているので, この2つは近い概念である。 ただし, ある空間に対する RWHEP と VWEHP がどの程度近いか, 調べた人はいないようである。

以下, cofibration としては, 任意の位相空間に対しホモトピー拡張性質を持つものを考える。

最初に cofibration の性質を詳しく調べたのは, Støm の [Str66] と [Str68] だと思われる。以下はこれらの論文で示されていることであり, 重要な性質である。

• \(i : A \to X\) が cofibration なら \(i\) は中への同相である。
• \(i : A \to X\) が cofibration であることと \(X\times \{0\}\cup A\times I\) が \(X\times I\) の retract であることは同値である。

• \(i : A \to X\) が closed cofibration であることと, 次の条件をみたす \((h,u)\) が存在することは同値である:

  • \(u : X \to I\)
  • \(h : X\times I \to X\)
  • \(A \subset u^{-1}(0)\)
  • \(h|_{X\times \{0\}} = 1_X\)
  • \(h(a,t) = a\) for \(a \in A\)
  • \(h(x,t) \in A\) if \(t>u(x)\)

最後の条件は, 現在では NDR pair の定義となっている。 組 \((h,u)\) は \((X,A)\) の NDR representation と呼ばれる。

典型的な例は, 写像柱 (mapping cylinder) や写像錐 (mapping cone) への包含写像である。

• mapping cylinder
• mapping cone

「ホモトピー論的」には以下の性質をよく使う。

• cofibration

  \[ A \hookrightarrow X \]
  に対し, 次のホモトピー同値がある
  \[ X\cup CA \simeq X/A \]
• 任意の連続写像は cofibration に変形できる。

• 連続写像

  \[ f : X \longrightarrow Y \]
  は cofibration の列
  \[ X \rarrow {f} Y \longrightarrow C_f \longrightarrow \Sigma X \rarrow {\Sigma f} \Sigma Y \longrightarrow \cdots \]
  に拡張できること。

Cofibration の貼り合せが cofibration になるための条件については, Lillig の [Lil73] で調べられている。

Cofibration の概念は, fibration や 弱ホモトピー同値と共に, Quillen により導入された, model category の概念を構成する要素の一つとみなすこともできる。

Quillen が定義した位相空間の圏のモデル構造では, 定義がかなり面倒な写像を cofibration として指定しなければならないことに注意する。(Hovey の本 [Hov99] 参照。)

より自然なモデル構造は, Strøm [Str72] や Hastings [Has74] が構成している。 Strøm の model structure では, cofibration を NDR pair を用いて定義する。

• Strøm model structure の cofibration は, NDR pair (と同型なもの)。
• Strøm model structure の trivial cofibration は, DR pair (と同型なもの)。

Model category の概念の普及により, cofibration や cofibrant object の概念が, 位相空間の圏以外でも考えられるようになっている。 典型的な例を知っているとよい。

• 単体的集合の圏の (Quillen model structure での) cofibration
• chain complexの圏の (projective model structure での) cofibration

また, weak equivalence と cofibration しか持たないような構造も色々考えられている。

• Waldhausen の category with cofibrations
• K.S. Brown の category of (co)fibrant objects
• Baues の (co)fibration category

他にも色々あるが, それらについては このページにまとめた。

References

[Bor37]

Karol Borsuk. “Sur les prolongements des transformations continues”. In: Fund. Math. 28 (1937), pp. 99–110.

[Bro06]

Ronald Brown. Topology and groupoids. Third edition of ıt Elements of modern topology [McGraw-Hill, New York, 1968; MR0227979], With 1 CD-ROM (Windows, Macintosh and UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006, pp. xxvi+512. isbn: 1-4196-2722-8.

[Has74]

Harold M. Hastings. “Fibrations of compactly generated spaces”. In: Michigan Math. J. 21 (1974), 243–251 (1975). url: http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029001312.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[HS41]

W. Hurewicz and N. E. Steenrod. “Homotopy relations in fibre spaces”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 27 (1941), pp. 60–64. url: https://doi.org/10.1073/pnas.27.1.60.

[Kie77]

R. W. Kieboom. “On the very weak and rather weak homotopy-extension property”. In: Arch. Math. (Basel) 28.3 (1977), pp. 308–311. url: https://doi.org/10.1007/BF01223926.

[Lil73]

Joachim Lillig. “A union theorem for cofibrations”. In: Arch. Math. (Basel) 24 (1973), pp. 410–415.

[Pup67]

Dieter Puppe. “Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien”. In: Arch. Math. (Basel) 18 (1967), pp. 81–88. url: https://doi.org/10.1007/BF01899475.

[Str66]

Arne Strøm. “Note on cofibrations”. In: Math. Scand. 19 (1966), pp. 11–14. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10791.

[Str68]

Arne Strøm. “Note on cofibrations. II”. In: Math. Scand. 22 (1968), 130–142 (1969). url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10877.

[Str72]

Arne Strøm. “The homotopy category is a homotopy category”. In: Arch. Math. (Basel) 23 (1972), pp. 435–441. url: https://doi.org/10.1007/BF01304912.

[Whi78]

George W. Whitehead. Elements of homotopy theory. Vol. 61. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978, p. xxi 744. isbn: 0-387-90336-4.