Chain Complexes

ホモロジーを扱う際には, (co)chain complex つまり ホモロジー代数の基礎が必要になる。 一般(コ)ホモロジーでも, スペクトル系列などにより, 実際には (co)chain complex の計算に帰着される場合が多い。

ホモロジー代数の教科書は数多く出版され, 選ぶのに困る程である。 トポロジーの専門家が書いたものもあるし, 代数への応用を念頭に書いたものもある。 とりあえず図書館で手当たり次第見てみるのがよいだろう。有名なものは Cartan と Eilenberg の [CE99], Mac Lane の [Mac95], そして最近のでは Gel\('\)fand と Manin の [GM03] や Weibel の [Wei94] などだろうか。 Springer の GTM のシリーズには Osborne の [Osb00] や Hilton と Stammbach の [HS97] といった本もある。もちろん, 代数の本にも基本的なことは書いてある。例えば Jacobson の [Jac85; Jac89] など。

Chain complex の基本的な性質や扱い方は 特異ホモロジーや spectral sequence を学ぶ内に自然に身についていくものである。ただし, 将来のことを考えると chain complex の category の構造として理解しておくのがよいと思う。

まずは, chain complex であるが, その条件は完全列の条件の半分だと思うとよい。ホモロジーは chain complex がどれだけ完全列に近いかを測るものである。

• chain complex とそのホモロジーの定義

初等的なホモロジー代数の本では chain complex とは (bounded) differential graded Abelian group として定義されているだろう。普通は環 \(R\) 上の differential graded module のことをいう。 抽象的なホモロジー代数では, Abelian categoryでの differential graded object ことである。

Chain complex と cochain complex は本質的な違いはない。 \(\{C_n,\partial _n\}\) が chain complex ならば \[ \begin {split} C^n & = C_{-n} \\ \delta ^n & = \partial _{-n} : C_{-n} \longrightarrow C_{-n-1} \end {split} \] とおけば, \(\{C^n,\delta ^n\}\) は cochain complex になる。

Chain complex の category の morphism は chain map と呼ばれる。

• chain map
• chain map からホモロジーの間に準同形が誘導されること

Chain complex の category にはホモトピーが定義される。

• 二つの chain map の間のchain homotopy
• 二つの chain map が chain homotopic ならば, ホモロジーに誘導した写像は一致する

ホモロジーの同型を誘導する写像は, quasi-isomorphism という。昔 Rochester での学生時代に受けた講義で, David Anick は quism という省略形を使っていたが, あまり使われているのを見たことがない。

• quasi-isomorphism or quism

ホモトピーがあると, 位相空間の初等的なホモトピー論での概念の類似が定義できる。 たとえば deformation retraction など。Sköldberg の [Skö18] では contraction と呼ばれている。

• chain complex の subcomplex への contraction

このSköldberg の論文は, Brown [Bro65] と Gugenheim [Gug72] によるcontraction の perturbation lemma から discrete Morse theory の主定理が導けることを示している。Discrete Morse theory では matching の概念が主要な役割を果す。ただし, free module から成る chain complex に限定されるが。

• (free module から成る) chain complex 上の acyclic partial matching

Chain complex の category は Abelian category, よって exact category になる。

• chain complex の完全列
• chain complex の短完全列からホモロジーの長い完全列ができること

可換環上の chain complex の category は symmetric monoidal category になる。

• chain complex の tensor product

ただし, tensor product を取るときの sign convention には注意が必要である。 他にも chain complex に様々な操作を行なうと, 符号が付く。これらについては, Math Overflow での Tyler Lawson の質問とその回答を見るとよい。そこから link が張られている Tyler Lawson の note が分りやすい。

Chain complex の成す monoidal category は, 全く別の見方ができることに気がついたのが, Pareigis の [Par81] である。その上の comodule の category が chain complex の成す monoidal categoryと 同値になる Hopf algebra を発見している。 この視点を一般化したのが, Khovanov による Hopfological algebra である。

• Hopfological algebra

Monoidal structure を考えない場合は, chain complex を functor とみなすという見方もある。最近, Holm と Jørgensen [HJ22] により一般化が考えられている。

• \(Q\)-shaped homological algebra

Monoidal category があると, monoid object を考えたくなるが, chain complex の category の monoid object は differential graded algebra (dg algebra) と呼ばれる。

• differential graded algebra

二つの chain complex の tensor product は double (chain) complex や bicomplex と呼ばれる, 2つの次数と2つの微分を持つものになる。 他にも, 複素多様体のコホモロジーなど, 様々な場面で登場する。

• double (chain) complex or bicomplex

現代的には, ホモロジー代数とは chain complex の成す model category でのホモトピー論であると言ってもいいだろう。 Chain complex の成すモデル圏からは derived category も作られるので。 特に, unbounded chain complexを 扱うときには, モデル圏の言葉を用いるのがよい。Spaltenstein の [Spa88] にある \(K\)-projective や \(K\)-injective の概念を用いれば unbounded chain complex の圏でもホモロジー代数を行なうことができるが, Hinich が [Hin97] で指摘しているように, model category の言葉を使う方がより自然だろう。

• chain complex の圏の model structure
• derived category

Chain complex の圏の model structure については Hovey の本 [Hov99] に詳しく書いてある。元々は, Quillen が見つけたものであるが。 Chain complex の圏は, Abelian category になっているので, 現在では, Hovey の Abelian model category の枠組みの中で, cotorsion pair を用いて理解するのが良いと思う。

• cotorsion pair
• Abelian model category

Chain complex の定義で \(d^2=0\) という条件を疑問に思った人は何人もいるようである。Kapranov [Kap] は \(d^N=0\) をみたす次数 1 の作用素 \(d\) をもつ次数付き加群を \(N\)-complex と呼んでいる。

• \(N\)-complex

この枠組みで differential graded algebra の一般化も考えられている。Angel と Diaz ら [AD07; ACD07] によると 微分幾何への応用があるらしい。 Khovanovら [Kho16; KQ15] は categorification のために標数 \(p\) 上で \(d^p=0\) という微分を持つ differential graded algebra の一般化を考えている。 意外と重要な ホモロジー代数 ( ホモトピー代数) の研究対象かもしれない。

Double complex と spectral sequence を合わせたような multicomplex というものもある。 Livernet ら [LWZ20] によると, Wall [Wal61] により導入されたもののようである。その後, Gugenheim と May [GM74] により調べられている。

• multicomplex

その spectral sequence との違いについては, Hurtubise の [Hur10] で調べられている。その motivation は Morse-Bott homology にあるようである。Hurtubise のものは bigraded だが, Dotsenko と Shadrin と Vallette の [DSV15] では singly graded な multicomplex が使われている。

Livernet ら [LWZ20] は, multicomplex の total complex に canonical に定義される filtration に付随する spectral sequence を調べている。

Fu ら [Fu+22] は multicomplex の category にいくつかの model structure を定義している。

Dwyer と Kan [DK85; DK87] は Connesの cyclic category が self-dual であることに着目し, chain complex と cochain complex の両方の構造を持つものを duchain complexとして調べている。Krähmer と Madden [KM18] によると, 現在では Kassel [Kas87] による mixed complex と呼ぶ方が一般的なようである。

• mixed complex

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