Double Complexes and Related Structures

2つの次数と2つの微分を持つ chain complex の変種で, double (chain) complex とか bicomplex と呼ばれるものがある。 2つの chain complex の tensor product や複素多様体のコホモロジーなどで登場するので, かなり古くから使われているものであり, ホモロジー代数の教科書でも扱われていたりするが, まとまった解説があるのかどうかよく知らない。

最近のものでは, Stelzig の [Ste21] や Khovanov と Qi の [KQ20] の §2 がある。 これらの文献では, 体上の double complex の基本的な性質として, square と zigzag への分解があることが挙げられ, その証明が書かれている。

• square と zigzag への分解

Double complex のホモロジーとしては, まず水平方向と垂直方向の微分で取ったホモロジーがある。

• horizontal (co)homology
• vertical (co)homology

そして, total chain complex として微分 (と次数) を一つにまとめて chain complex を構成し, そのホモロジーを取ることもできる。

• total chain complex

他にも, 複素多様体の研究などで登場する Bott-Chern (co)homology や Aeppli (co)homology などもある。

• Bott-Chern (co)homology
• Aeppli (co)homology

これらについては, Angella の解説 [Ang] がある。

また, これらは Bergman の [Ber12] では, receptor と donor として定義されている。Bergman は, horizontal homology と vertical homology とこれら2つのホモロジーについて調べている。

この4種類のホモロジーの一般化として, Goswami [Gos21] が \(L\)-homology というものを定義している。

• \(L\)-homology

Double complex を一般化した multicomplex という概念もある。 [Hue04] によると homological perturbation theory で重要な概念らしい。

Muro と Roitzheim の [MR19] では, bigraded であるが, 微分が斜めの方向に進む twisted complex というものが考えられている。 Derived \(A_{\infty }\)-algebra の underlying structure として現れる, らしい。

• twisted complex

References

[Ang]

Daniele Angella. On the Bott-Chern and Aeppli cohomology. arXiv: 1507.07112.

[Ber12]

George M. Bergman. “On diagram-chasing in double complexes”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 3, 60–96. arXiv: 1108.0958.

[Gos21]

Amartya Goswami. “\(L\)-homologies of double complexes”. In: Comm. Algebra 49.4 (2021), pp. 1600–1608. arXiv: 2110 . 12473. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2020.1842430.

[Hue04]

J. Huebschmann. “Minimal free multi-models for chain algebras”. In: Georgian Math. J. 11.4 (2004), pp. 733–752. arXiv: math/0405172.

[KQ20]

Mikhail Khovanov and You Qi. “A faithful braid group action on the stable category of tricomplexes”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 16 (2020), Paper No. 019, 32. arXiv: 1911. 02503. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2020.019.

[MR19]

Fernando Muro and Constanze Roitzheim. “Homotopy theory of bicomplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 223 (2019), pp. 1913–1939. arXiv: 1802.07610. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.08.007.

[Ste21]

Jonas Stelzig. “On the structure of double complexes”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 104.2 (2021), pp. 956–988. arXiv: 1812.00865. url: https://doi.org/10.1112/jlms.12453.