多変数複素解析と複素多様体

複素多様体は, 複素解析, 代数幾何学, 微分幾何学など, 様々な分野に共通の重要な研究対象である。 Sheaf を用いて 代数幾何学的に調べることもできるし, 微分幾何学を行なうこともできる。

次元が等しい複素多様体の間の複素解析的な写像は, covering space に非常に近い。コンパクトな Riemann面の場合だと, 全射ならば, 分岐被覆になる。 より一般には “fundamental theorem of finite map” という事実が成り立つ。 Grauert と Remmert の [GR84] の p. 17 9にある。Ghigi と Kollár の [GK] の section 2 を見るとよい。

最近, 複素多様体の研究にも, ホモトピー論の手法が使えることが分かってきた。 例えば, Forstnerič の [For10] では, Serre fibration や 弱ホモトピー同値が登場する。 また Lárusson は, [Lár04; Lár05] などで, 積極的に model category を使おうとしている。 まず, Forstnerič の survey [For03] と Forstnerič と Lárusson の Oka theory に関する survey [FL11] を読むとよい。“holomorphic な問題” と “homotopic な問題”の関係が詳しく説明してある。 それらによると, その起源は Oka の結果 [Oka39] のようである。

• Oka principle

Symplectic manifold を含めた一般化として, Hitchin の generalized complex geometry がある。

• generalized complex geometry

References

[FL11]

Franc Forstnerič and Finnur Lárusson. “Survey of Oka theory”. In: New York J. Math. 17A (2011), pp. 11–38. arXiv: 1009.1934.

[For03]

Franc Forstnerič. “The homotopy principle in complex analysis: a survey”. In: Explorations in complex and Riemannian geometry. Vol. 332. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, pp. 73–99. arXiv: math/0301067. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/332/05930.

[For10]

Franc Forstnerič. “Invariance of the parametric Oka property”. In: Complex analysis. Trends Math. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, pp. 125–144. arXiv: 0901.4373. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0009-5_7.

[GK]

Alessandro Ghigi and János Kollár. Kaehler-Einstein metrics on orbifolds and Einstein metrics on spheres. arXiv: math/0507289.

[GR84]

Hans Grauert and Reinhold Remmert. Coherent analytic sheaves. Vol. 265. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1984, pp. xviii+249. isbn: 3-540-13178-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-69582-7.

[Lár04]

Finnur Lárusson. “Model structures and the Oka principle”. In: J. Pure Appl. Algebra 192.1-3 (2004), pp. 203–223. arXiv: math/0303355. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.02.005.

[Lár05]

Finnur Lárusson. “Mapping cylinders and the Oka principle”. In: Indiana Univ. Math. J. 54.4 (2005), pp. 1145–1159. arXiv: math/0408373. url: http://dx.doi.org/10.1512/iumj.2005.54.2731.

[Oka39]

Kiyosi Oka. “Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. III–Deuxième problème de Cousin”. In: Journal of Science of the Hiroshima University, Series A (Mathematics, Physics, Chemistry) 9.none (1939), pp. 7–19. url: https://doi.org/10.32917/hmj/1558490525.