実および複素代数多様体

実数および複素数体上の 代数多様体は, その closed point の集合に analytic topology を入れ, 位相空間とみなすことができる。

また「(連立) 代数方程式の解の成す空間」であり, 特に \(0\) 次元の代数多様体を求めること, つまり代数方程式の解を求めることは, 様々な具体的な問題で必要になる。 実際そのための algorithm も研究されていて, そのような研究は Lee, Lindberg, Rodriguez の [LLR24] では, numerical algebraic geometry と呼ばれている。彼等は, Bates らの本 [Bat+13] を参照している。

• numerical algebraic geometry

彼等の論文のタイトルには “polyhedral homotopy” という言葉があるが, これは, Bernstein [Ber75] による Newton polytope の mixed volume による解の個数を評価を, Huber と Sturmfels [HS95] が algorithm として実装したもののことのようである。

幾何学的には, smooth かどうかで扱いが大きく異なる。

• \(\R \) 上の smooth algebraic variety は \(C^{\infty }\)級実多様体になる。
• \(\bbC \) 上の smooth algebraic variety は複素多様体になる。

逆に smooth manifold をその上の \(C^{\infty }\)級関数の成す環を用いて, 代数幾何的に調べるということも考えられる。Joyce は [Joy19] で \(C^{\infty }\)-ring 上の代数幾何学を構築しようとしている。

Smooth でない variety を調べる際には, まずその特異点を解消する, というのが一つの方法である。

• 広中の特異点の解消定理

Hauser が AMS の Bulletin に解説 [Hau03] を書いている。

特異点を持つ algebraic variety の topology について, これまでに何が分っていて今何が問題かということについては, Totaro の ICM2002 での講演録 [Tot02] を読むのがいいだろう。Smooth な場合に定義された様々な不変量が, 特異点を持つ場合にも拡張されていることがわかる。

• intersection homology
• Chern number [Tot00]
• elliptic genus

Dimca [Dim] は, 複素数体上で, \(\CP ^n\) 内の complete intersection の complement の連結性を調べている。

• complete intersection

\(\bbC ^2\) の中の algebraic curve を plane curve というが, その complement のトポロジーでさえまだよくわからないことが多い。実次元で考えると, \(\R ^4\) の中の \(2\)次元多様体なので, 結び目の次元を一つ上げたような感じである。Plane curve の complement については, [Lib07; Oka05; LM] などといった文献がある。 Libgober のホームページには plane singular curve の complement についての問題について書いたものがある。

Real algebraic set のトポロジーについて調べてきたのは, Akbulut と King である。 [AK92] という本を出している。Akbulut は [Akb06] で, 多様体がいつ real algebraic set と同相 (微分同相) になるか, という問題についての survey を書いている。 また, 位相空間がいつ real algebraic set と同相になるかという問題につい ては, McCrory と Parusiński の survey [MP07] を見るとよい。 その中で重要な役割を果たしているのは, Sullivan の結果 [Sul71] とその一般化である。

• real algebraic set \(X\) の任意の点 \(x\) に対し, その link の Euler 標数は偶数である。 よって, ある点での link の Euler 標数が奇数になる空間は, real algebraic set と同相にならない。

そしてそのタイトルにもあるように constructible function という概念が, 中心的な役割を果たしている。最近では, constructible function の Euler 標数に関する積分の研究も盛んである。

• constructible function
• Euler calculus

McCrory の [McC03] によると, 2次元以下では Sullivan の Euler標数による局所的な条件が, 必要十分らしい。3次元以上では Sullivan の条件を満たすが real algebral set と同相にならないものもある。4次元では, 少なくとも \(2^{43}-43\) の独立な obstruction がある [MP00], そうであ る。

Betti数の和を考えている人もいる。Bihan と Sottile の [BS] では, stratified Morse theory が使われている。彼らの Betti 数の評価の元になっているのは, Khovanskii の [Kho91] のようであるが。

可微分多様体から real algebraic set への写像を up to homotopy で \(C^{\infty }\)写像にすることができる, と Baird と Ramras [BR15] が言っている。

Sjöland [Sjö] によると, 組み合せ論の問題で real algebraic geometry に帰着させることができるものもあるようである。 多面体の一般化と考えれば, 分からなくもない。

比較的新しい不変量としては, algebraic cycle の空間の ホモトピー群として定義される Lawson (co)homology がある。

• Lawson homology とその変種

実数体は順序体なので, semi-algebraic set というものも考えられる。 等号だけではなく, 不等号も使って表されるものである。

• semi-algebraic set やその一般化

References

[AK92]

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[Akb06]

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[Bat+13]

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