Euler標数

Euler標数 (Euler characteristic) は, トポロジーの入門でよく登場する不変量である。 単体分割された空間の場合, 単体の個数を数えるだけで求められるからである。

• 有限 単体的複体や, cell complex の Euler標数

面の数の一次結合で表わされるホモトピー不変量が, 本質的にはEuler標数のみであることは, 何人もの人が証明しているようである。Luzón と Morón の [LM] では, Mayer の [May42], Levitt の [Lev92], Forman [For00], Roberts の [Rob], Yu の [Yu10] などが挙げられている。

あるいは [GLM] にあるように, universal additve invariant が Euler標数の定数倍であると言ってもよい。

一般の位相空間に対しては, ホモロジーを用いて定義するのがよいだろう。

• Betti数の alternating sum による Euler標数

この Betti数による定義で, alternating sum を取るときに二項係数を掛けてから alternating sum を取ったものを, Ramachandran [Ram] は higher Euler characteristic と呼んでいる。

• higher Euler characteristic

あるいは, Poincaré多項式 \(P_{X}(t)\) を \(u=t+1\) の多項式で表したときの係数と言ってもよい。

代数多様体の同型類の集合から Grothendieck ring を定義し, それを用いて代数多様体の generalized Euler characteristic を定義することもできる。例としては, constant sheaf \(\Z \) の compact support sheaf cohomology から定義される local Euler characteristic がある。

• 代数多様体 の成す Grothendieck ring
• generalized Euler characteristic
• local Euler characteristic
• 普通 の Euler characteristic は、 generalized Euler characteristic ではない

McCrory と Parusinski の [MP03] では, 更に virtual Betti 数と virtual Poincaré polynomial が定義されている。

Emerson と Meyer は, [EM06] で equivariant Euler characteristic を equivariant \(K\)-homology の元として定義することを考えている。更に [EM09] では, Lefschetz数も equivariant \(K\)-homology の元として表せることを示している。

• equivariant Euler characteristic

Dwyer, Weiss, Williams は parametrized version を [DWW03] で定義している。

• fibration の parametized Euler characteristic

ちょっと毛色の変わったアプローチとしては, poset, そしてより一般に small category の不変量としてのEuler 標数がある。Rota や Leinster によるものである。 単体的複体に対しては, その face poset の Euler標数が単体の個数による Euler標数と一致していることから, 古典的な Euler標数の一般化になっている。

• 組み合せ論的に定義された Euler標数

Ramachandran の論文 [Ram] では, Leinster の small category の series Euler characteristic に対しても higher version が考えられている。

一方で, \(L^2\)-homology を用いた定義もある。Lück の [Lüc] などである。上記の Leinster の small category の Euler標数とは, 整数とは限らない値を取る点で似ている。よく似たものとして, topological entropy を用いて定義される entropy Euler characteristic [Ele02] もあ る。これらの関係はどうなっているのだろうか。

• \(L^2\)-Betti数と \(L^2\)-Euler characteristic
• entropy Betti数と entropy Euler characteristic

これらは, 無限交代和を別の形に書き換えることにより, 無限次元のものに対する Euler標数を定義しようという試みと考えることができる。 全く別のアプローチとしては, Achar と Stroppel の [AS13] がある。 ホモロジー代数的対象の場合に, Grothendieck group の completion を取ることにより定義している。

Euler標数を 測度とみなし, それに関する constructible function の積分を定義しているのは, Viro [Vir88] と Schapira [Sch91]である。 最近の Ghrist らによる sensor network の研究に応用されている。Curry と Ghrist と Robinson の survey [CGR12] では Euler calculus と呼ばれている。

• Euler calculus

Orbifold に対しては, 通常のEuler標数ではなく, 数理物理の要請から定義された orbifold Euler 標数を用いるのがよいようである。

• orbifold Euler標数

これは, Leinster による small category の Euler標数とも関係がある。

Euler 標数はホモロジー群の rank と交代和を用いて定義されるが, ホモトピー群の位数の交代積を用いると homotopy cardinality という数が定義される。Baez と Dolan [BD01] により定義された。

• homotopy cardinality

その Euler 標数との関係について Berman [Ber] が調べているが, Yanovski [Yan23] によると apparent mistake がある。 その Yanovski は Morava \(K\)-theory を用いた Euler 標数との関係を発見している。

References

[AS13]

Pramod N. Achar and Catharina Stroppel. “Completions of Grothendieck groups”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 45.1 (2013), pp. 200–212. arXiv: 1105.2715. url: https://doi.org/10.1112/blms/bds079.

[BD01]

John C. Baez and James Dolan. “From finite sets to Feynman diagrams”. In: Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin: Springer, 2001, pp. 29–50. arXiv: math/0004133.

[Ber]

John D. Berman. Euler characteristic and homotopy cardinality. arXiv: 1811.07437.

[CGR12]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. “Euler calculus with applications to signals and sensing”. In: Advances in applied and computational topology. Vol. 70. Proc. Sympos. Appl. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 75–145. arXiv: 1202.0275. url: https://doi.org/10.1090/psapm/070/589.

[DWW03]

W. Dwyer, M. Weiss, and B. Williams. “A parametrized index theorem for the algebraic \(K\)-theory Euler class”. In: Acta Math. 190.1 (2003), pp. 1–104. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02393236.

[Ele02]

Gábor Elek. “Amenable groups, topological entropy and Betti numbers”. In: Israel J. Math. 132 (2002), pp. 315–335. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02784519.

[EM06]

Heath Emerson and Ralf Meyer. “Euler characteristics and Gysin sequences for group actions on boundaries”. In: Math. Ann. 334.4 (2006), pp. 853–904. arXiv: math/0505050. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-005-0747-y.

[EM09]

Heath Emerson and Ralf Meyer. “Equivariant Lefschetz maps for simplicial complexes and smooth manifolds”. In: Math. Ann. 345.3 (2009), pp. 599–630. arXiv: 0711.0027. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00208-009-0367-z.

[For00]

R. Forman. “The Euler characteristic is the unique locally determined numerical invariant of finite simplicial complexes which assigns the same number to every cone”. In: Discrete Comput. Geom. 23.4 (2000), pp. 485–488. url: https://doi.org/10.1007/s004540010016.

[GLM]

S. M. Gusein-Zade, I. Luengo, and A. Melle-Hernández. The universal Euler characteristic of V-manifolds. arXiv: 1804.08385.

[Lev92]

Norman Levitt. “The Euler characteristic is the unique locally determined numerical homotopy invariant of finite complexes”. In: Discrete Comput. Geom. 7.1 (1992), pp. 59–67. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02187824.

[LM]

Ana Luzón and Manuel A. Morón. Pascal triangle, Stirling numbers and the unique invariance of the Euler characteristic. arXiv: 1202.0663.

[Lüc]

Wolfgang Lück. Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to \(L^2\)-Betti numbers. arXiv: dg-ga/9707011.

[May42]

W. Mayer. “A new homology theory. I, II”. In: Ann. of Math. (2) 43 (1942), pp. 370–380, 594–605.

[MP03]

Clint McCrory and Adam Parusiński. “Virtual Betti numbers of real algebraic varieties”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 336.9 (2003), pp. 763–768. arXiv: math/0210374. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1631-073X(03)00168-7.

[Ram]

Niranjan Ramachandran. Higher Euler characteristics. arXiv: 1509.05089.

[Rob]

Justin Roberts. Unusual formulae for the Euler characteristic. arXiv: math/0201178.

[Sch91]

Pierre Schapira. “Operations on constructible functions”. In: J. Pure Appl. Algebra 72.1 (1991), pp. 83–93. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90131-K.

[Vir88]

O. Ya. Viro. “Some integral calculus based on Euler characteristic”. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. Vol. 1346. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1988, pp. 127–138. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0082775.

[Yan23]

Lior Yanovski. “Homotopy cardinality via extrapolation of Morava-Euler characteristics”. In: Selecta Math. (N.S.) 29.5 (2023), Paper No. 81, 36. arXiv: 2303.02603. url: https://doi.org/10.1007/s00029-023-00886-3.

[Yu10]

Li Yu. “A property that characterizes Euler characteristic among invariants of combinatorial manifolds”. In: Adv. Math. 225.2 (2010), pp. 794–804. arXiv: 0903.2523. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.016.