位相空間の\(K\)理論の構成にはそれほど高度な概念は必要ない。 まずは Grothendieck group の構成, つまり monoid の
group completion さえ知っていればよい。とはいうものの, group completion にもその適用するものによって様々な
version がある。いづれの場合も, できた群を Grothendieck group という。
Grothendieck group (と \(K_{1}\)) については, Lam と Siu の解説 [LS75] がある。
Grothendieck group は, exact category の object の isomorphism class
の集合に直和で和を定義し, 完全列 (conflation) \(x\to y\to z\) に対して \([y]=[x]+[z]\) という関係を入れ, 更に形式的を逆元を付け加えて Abel
群にしたものであるが, 最後の形式的な逆元を付け加える前の段階を Grothendieck monoid として考えることを Berenstein と
Greenstein [BG16] が提案している。
Grothendieck は, 更に exterior power operation により定義される作用素を考えるために \(\lambda \)-ring
の概念を導入した。
\(K\)-theory と関係があるものとして, Picard group や Brauer group などといったものもある。
Vector bundle を dg category に変えた “categorified version” を secondary \(K\)-theory
(secondary Grothendieck group) として Toën が定義している。 \(0\)次のものを secondary Grothendieck
group と呼ぶ。
元になっている category が monoidal structure を持つ場合, Grothendieck group は環になり
Grothendieck ring と呼ばれる。その環構造の deformation を考えている人もいる。Hernandez ら [Her; HL15]
などである。 Loop algebra の quantum deformation の表現の場合, Toën の derived Hall algebra
と関係あるようである。
- quantum Grothendieck ring
Algebraic variety 全体の Grothendieck ring も考えられている。Vakil と Wood の [VW15] など。
また algebraic stack の Grothendieck ring は Ekedahl の[Eke] で, 更に smooth proper
pretriangulated dg category の Grothendieck ring は [BLL04] で考えられている。
より身近なものから作られるものとしては, convex polytope が Minkowski sumで成す semigroup の
Grothendieck group がある。その元を virtual polytope と呼ぶ。Paninaの [Pan02; Pan15]
などを参照のこと。 最初は Khovanskii と Pukhlikov の [PK92] で考えられたもののようである。Friedl らの [FLT19]
でも使われている。
Goodwillie [Goo]は, Minkowski sum ではなく, 和集合を取ることによる convex polytope の
Grothendieck groupを考えている。 こちらの motivation は scissors congruence である。
References
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url: https://doi.org/10.1215/00127094-2877184.
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