Secondary K-Theory

Toën と Vezzosi [TV09] は, elliptic cohomology の algebraic \(K\)-theory 版として, secondary \(K\)-theory \(K^{(2)}(X)\) を導入した。 より正確には, topological \(K\)-theory が vector bundle から定義されているのを, \(2\)-vector bundle を使い elliptic cohomology を作ろうという Baas, Dundas, Rognes の試み [BDR04] の代数版のようなものである。 Scheme や stack の上の coherent sheaf の代わりに symmetric monoidal \(\infty \)-category の sheaf を用いている。

Ben-Zvi の取った Toën の lecture の note を 彼の website から download することができる。 Hoyois ら [HSS17] による精密化もあるので, まずはこれを見るのがよいかもしれない。

Tabuada [Tab16] は \(K^{(2)}_{0}\) を secondary Grothendieck group と呼んでいる。そして, 可換環 \(k\) に対し \(K^{(2)}_{0}(k)\) が, Bondal, Larsen, Lunts [BLL04] による \(k\) 上の smooth proper pretriangulated dg category の Grothendieck ring と一致することを示している。

Tabuada [Tab20] は, derived Brauer group からの canonical map を調べている。

Chern character の secondary 版については, 既に Toën と Vezzosi [TV09; TV15] が考えている。 Chern character は, \(K\)-theory から通常の cohomology への natural transformation であるが, algebraic \(K\)-theory の場合, そのような natural transformation については, Blumberg と Gepner と Tabuada による特徴付け [BGT13] がある。 Mazel-Gee と Stern [MS] はその secondary \(K\)-theory に対する類似を考えている。

更に, Hoyois ら [Hoy+21] により Riemann-Roch の定理の一般化も 示されているので, secondary \(K\)-theory の定義は「正しい」と言えるのだろう。

References

[BDR04]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, and John Rognes. “Two-vector bundles and forms of elliptic cohomology”. In: Topology, geometry and quantum field theory. Vol. 308. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 18–45. arXiv: math / 0306027. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526398.005.

[BGT13]

Andrew J Blumberg, David Gepner, and Gonçalo Tabuada. “A universal characterization of higher algebraic K-theory”. In: Geom. Topol. 17.2 (2013), pp. 733–838. arXiv: 1001.2282. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2013.17.733.

[BLL04]

Alexey I. Bondal, Michael Larsen, and Valery A. Lunts. “Grothendieck ring of pretriangulated categories”. In: Int. Math. Res. Not. 29 (2004), pp. 1461–1495. arXiv: math/0401009. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804140385.

[Hoy+21]

Marc Hoyois, Pavel Safronov, Sarah Scherotzke, and Nicolò Sibilla. “The categorified Grothendieck-Riemann-Roch theorem”. In: Compos. Math. 157.1 (2021), pp. 154–214. arXiv: 1804.00879. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x20007642.

[HSS17]

Marc Hoyois, Sarah Scherotzke, and Nicolò Sibilla. “Higher traces, noncommutative motives, and the categorified Chern character”. In: Adv. Math. 309 (2017), pp. 97–154. arXiv: 1511.03589. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.01.008.

[MS]

Aaron Mazel-Gee and Reuben Stern. A universal characterization of noncommutative motives and secondary algebraic K-theory. arXiv: 2104.04021.

[Tab16]

Gonçalo Tabuada. “A note on secondary \(K\)-theory”. In: Algebra Number Theory 10.4 (2016), pp. 887–906. arXiv: 1506.00916. url: https://doi.org/10.2140/ant.2016.10.887.

[Tab20]

Gonçalo Tabuada. “Embedding of the derived Brauer group into the secondary \(K\)-theory ring”. In: J. Noncommut. Geom. 14.2 (2020), pp. 773–788. arXiv: 1607.03094. url: https://doi.org/10.4171/jncg/379.

[TV09]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 331–354. arXiv: 0804.1274. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_11.

[TV15]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée”. In: Selecta Math. (N.S.) 21.2 (2015), pp. 449–554. arXiv: 0903.3292. url: https://doi.org/10.1007/s00029-014-0158-6.