Grothendieck Group of Varieties and Related Structures

位相空間の \(K\)-theory (\(K_{0}\)) は vector bundle の同型類が直和で成す可換 monoid の Grothendieck group (group completion) として定義される。

当然, 可換 monoid があれば, 同様に group completion により類似の構成ができる。例えば, 凸多面体 に対しては, scissors congruence が考えられている。

• scissors congruence group

その代数幾何版ともいうべきものが, Vakil と Wood [VW15] によって考えられている。

• Grothendieck group of algebraic varieties. \(K_{0}(\category {Var}/k)\)

特定の variety について考えることもできる。例えば, Abelian variety については, Shnidman [Shn17] が考えている。

関連した概念として, 以下のものがある。

• motivic integration あるいは motivic measure
• motivic zeta function

前者は, \(K_{0}(\category {Var}/k)\) 上の関数であるが, 後者は \(K_{0}(\category {Var}/k)\) に値を持つ関数である。

また algebraic stack の Grothendieck ring は Ekedahl の [Ekeb] で考えられている。

• Grothendieck group of algebraic stacks.

Ekedahl は [Ekea] で有限群の classifying stack の表す類について調べている。それに基いて, Martino と Scavia [MS20] が, 多くの complex reflection group の場合自明になることを示している。

Martino [Mar16] は [Ekeb] で Ekedahl が定義している有限群の不変量について, 詳しく調べている。 Ekedahl invariant について [Mar17] という解説も書いている。

Bondal, Larsen, Lunts [BLL04] は, smooth proper pretriangulated dg category の Grothendieck ring を定義している。これは, このような dg category を noncommutative scheme とみなす, という視点に基づいている。

• Grothendieck group of smooth proper pretriangulated dg categories

このように, \(K_{0}\) があると, その higher algebraic \(K\)-theory を考えたくなるが, それも考えられている。

• algebraic \(K\)-theory of varieties

References

[BLL04]

Alexey I. Bondal, Michael Larsen, and Valery A. Lunts. “Grothendieck ring of pretriangulated categories”. In: Int. Math. Res. Not. 29 (2004), pp. 1461–1495. arXiv: math/0401009. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804140385.

[Ekea]

Torsten Ekedahl. A geometric invariant of a finite group. arXiv: 0903.3148.

[Ekeb]

Torsten Ekedahl. The Grothendieck group of algebraic stacks. arXiv: 0903.3143.

[Mar16]

Ivan Martino. “The Ekedahl invariants for finite groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.4 (2016), pp. 1294–1309. arXiv: 1312.0476. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.08.019.

[Mar17]

Ivan Martino. “Introduction to the Ekedahl invariants”. In: Math. Scand. 120.2 (2017), pp. 211–224. arXiv: 1312 . 6496. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-25693.

[MS20]

Ivan Martino and Federico Scavia. “Motivic classes of classifying stacks of some semi-direct products”. In: J. Algebra 544 (2020), pp. 62–74. arXiv: 1507.03486. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.09.033.

[Shn17]

Ari Shnidman. “Grothendieck groups of categories of abelian varieties”. In: Eur. J. Math. 3.3 (2017), pp. 507–519. arXiv: 1701. 03744. url: https://doi.org/10.1007/s40879-017-0159-z.

[VW15]

Ravi Vakil and Melanie Matchett Wood. “Discriminants in the Grothendieck ring”. In: Duke Math. J. 164.6 (2015), pp. 1139–1185. arXiv: 1208.3166. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2877184.