Scissors congruence

Scissors congruence とは, 簡単に言えば, 凸多面体 \(P\) を超平面 \(H\) で2つの多面体 \(P_1\) と \(P_2\) に切ったとき, \[ P = P_1+P_2 - P_1\cap P_2 \] とみなす関係のことである。 鋏で適当に切り刻んでから貼り合せて合同になる多面体を同じとみなすことになるので, scissors congruenceという名前が付いている。 正確には, \(\R ^n\) の \(n\)次元凸多面体の生成する自由アーベル群 (Grothendieck group) に, 上記の関係を入れて scissors congruence group を定義し, その元を考える。

基本的なのは, 以下の scissors congruence である。

• \(\R ^n\) の compact多面体の間の scissors congruence
• 双曲空間や球面での scissors congruence
• scissors congruence group

Scissors congruence は, 代数的 \(K\)理論や群のコホモロジー, そして polylogarithm などと密接な関係がある。 Cheeger-Chern-Simons secondary characteristic class とも関係ある。関連した論文は数多いが, 例えば, Goncharov の [Gon99]を見ると, 様々な分野が関わっている雰囲気がつかめるかもしれない。

解説はいくつもあるが, 本としては Sah の [Sah79] がある。 もっと新しいものでは, Dupont の [Dup01] がある。Dupont は, AMS の Notices にも “What is \(\ldots \)?” [Dup12] を書いている。 Survey article では Neumann の [Neu98] がいいだろう。

Goncharov は, [Gon99] で, 一般の代数的閉体 \(F\) 上で, 群 \(S_n(F)\) を定義している。これは \(F=\bbC \) の場合, hyperbolic および spherical scissors congruence group を部分群として含むものである。残りの Euclidean scissors congruence group については, [Gon04] で \(\mathcal {E}_n(F)\) という群を定義している。\(S_*(F) = \oplus _n S_n(F)\) は, \(\Q \)上 の graded commutative Hopf algebra となり, \(\mathcal {E}_*(F) = \oplus _n \mathcal {E}_n(F)\) は, その上の comodule になる。Goncharov は, [Gon04] で, その cobar complex や関連したことがらについて考察し, いくつかの予想を立てている。

Scissors congruence group を Waldhausen category の algebraic \(K\)-theory (\(K_0\)) として表すことを考えているのは, Zakharevich の [Zak12] である。まぎらわしい名前であるが, 彼女は, ある種の double category を “polytope complex” と呼び, そこから Waldhausen category を定義している。Euclid空間などの polytope の family からできる “polytope complex” の場合の \(K_0\) が, 古典的な scissors congruence group である。 Waldhausen category が定義されたということは, higher algebraic \(K\)-theory が定義できるということであるが, 実際その続編 [Zak13] で, simplicial polytope complex の Waldhausen \(K\)-theory の性質について調べている。また, [Zak17] では, assember という概念を導入し, より抽象的な scissors congruence を扱う枠組みを提唱している。

Zakharevich の構成で, 高次の algebraic \(K\)-theory は, 幾何学的にどのような意味を持っているのだろうか。

この scissors congruence の algebraic \(K\)-theory spectrum が Thom spectrum を用いて表せることを, Malkiewich [Mal] が発見している。

より一般に, 代数多様体や可微分多様体でも cut and paste でできる群を考えることができ, そしてそれを \(\pi _{0}\) に持つ spectrum が構成される。 それらを Bohmann ら [Boh+] は, cut-and-paste \(K\)-theory と呼んでいる。

• cut-and-paste \(K\)-theory

通常の scissors congruence では \(\R ^n\) の中の \(n\)次元凸多面体を考えるが, Goodwillie は [Goo] で次元が \(n\) より小さいものも含めた scissors congruence group を導入している。

• Goodwillie の scissors congruence group

一方, 凸多面体の「和」としては, Minkowski sum もある。 凸多面体の集合を Minkowski sum により commutative monoid と考え, その Grothendieck group を考えている人もいる。 [Fun21; FLT19] など。

References

[Boh+]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Cary Malkiewich, Mona Merling, and Inna Zakharevich. A trace map on higher scissors congruence groups. arXiv: 2303.08172.

[Dup01]

Johan L. Dupont. Scissors congruences, group homology and characteristic classes. Vol. 1. Nankai Tracts in Mathematics. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 2001, pp. viii+168. isbn: 981-02-4507-6; 981-02-4508-4. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812810335.

[Dup12]

Johan L. Dupont. “What is a scissors congruence?” In: Notices Amer. Math. Soc. 59.9 (2012), pp. 1242–1244. url: https://doi.org/10.1090/noti898.

[FLT19]

Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. “Groups and polytopes”. In: Breadth in contemporary topology. Vol. 102. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, pp. 57–77. arXiv: 1611.01857.

[Fun21]

Florian Funke. “The integral polytope group”. In: Adv. Geom. 21.1 (2021), pp. 45–62. arXiv: 1605.01217. url: https://doi.org/10.1515/advgeom-2019-0029.

[Gon04]

A. B. Goncharov. “Euclidean scissor congruence groups and mixed Tate motives over dual numbers”. In: Math. Res. Lett. 11.5-6 (2004), pp. 771–784. arXiv: math/0401354.

[Gon99]

Alexander Goncharov. “Volumes of hyperbolic manifolds and mixed Tate motives”. In: J. Amer. Math. Soc. 12.2 (1999), pp. 569–618. arXiv: alg-geom/9601021. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-99-00293-3.

[Goo]

Thomas G. Goodwillie. Total scissors congruence. arXiv: 1410.7120.

[Mal]

Cary Malkiewich. Scissors congruence \(K\)-theory is a Thom spectrum. arXiv: 2210.08082.

[Neu98]

Walter D. Neumann. “Hilbert’s 3rd problem and invariants of \(3\)-manifolds”. In: Geom. Topol. Monogr. 1 (1998), 383–411 (electronic). arXiv: math/9712226. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.1998.1.383.

[Sah79]

C. H. Sah. Hilbert’s third problem: scissors congruence. Vol. 33. Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1979, pp. vi+188. isbn: 0-273-08426-7.

[Zak12]

Inna Zakharevich. “Scissors congruence as \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.3833. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a9.

[Zak13]

Inna Zakharevich. “Simplicial polytope complexes and deloopings of \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 301–330. arXiv: 1102.4278. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a18.

[Zak17]

Inna Zakharevich. “The \(K\)-theory of assemblers”. In: Adv. Math. 304 (2017), pp. 1176–1218. arXiv: 1401.3712. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.045.