Waldhausen Categories

Waldhausen は, algebraic \(K\)-theory of spaces [Wal85] を定義するために “category with cofibrations” や “category with weak equivalences”, そして “category with cofibrations and weak equivalences” といった概念を導入した。 最後のものは, ちょっと名前が長すぎるので, 最近では Waldhausen category と呼ばれるのが普通である。

• category with cofibrations
• category with cofibrations and weak equivalences

Waldhausen の原論文以外では, Weibel の本 [Wei13] や Dundas, Goodwillie, McCarthy の本 [DGM13] がある。

Waldhausen category の代表的な例は exact category である。そして, Quillen が exact category の algebraic \(K\)-theory を定義するために用いた \(Q\)-construction に対応する \(S_{\bullet }\)-construction がある。Waldhausen category から simplicial category を構成する。

• Waldhausen’s \(S_{\bullet }\)-construction

Waldhausen が “category with cofibrations and weak equivalences” と呼んでいることからも分かるように, Waldhausen category は, model category の \(\frac {2}{3}\) の構造を持つものである。例えば, Abelian category 上に model structure があると, その compact cofibrant object の成す subcategory を取ることにより Waldhausen category を作り, algebraic \(K\)-theory を定義する, ということができる。 しかし, Waldhausen category の定義には fibration は不要なので, model structure を定義するのは, ちょっと無駄なことをしている気がする。

Hovey の理論 [Hov02] により, Abelian category 上の model structure を定義するときには, cotorsion pair の組を構成するのが楽であるが, cotorsion pair から直接 Waldhausen category の構造を定義できると手間が省ける。 実際それは, Sarazola [Sar20] により行なわれている。

• Waldhausen category from cotorsion pair

Abelian category から Waldhausen category を作るものとしては, Salch の [Sal18] もある。Stable category に関するものであるが。

Waldhausen category の category に値を持つ functor から Grothendieck construction でできた category 上に Waldhausen category の構造を定義することについては, Di, Li, Liang の [DLL] で考えられている。

一般化や変種も色々考えられている。まず Thomason とTrobaugh [TT90] が derived category の algebraic \(K\)-theory を考えるときに導入した biWaldhausen category がある。

• biWaldhausen category
• complicial biWaldhausen category

D’Andrea, Hajac, Maszczyk, Sheu, Zieliński [DAn+] による cofibration-weaking Waldhausen category (cw-Waldhausen category) は, noncommutative CW complex の定義という, 変った用途のために導入された。

• cw-Waldhausen category

Waldhausen category の \((\infty ,1)\)-version として, Waldhausen \(\infty \)-category とか Waldhausen quasicategory とかいう構造も考えられるようになった。 Barwick の [Bar16], Fiore と Lück の [FP19], そして Fiore の [Fio] など。

• Waldhansen \(\infty \)-category

Barwick のものも Fiore と Lück のものも, weak equivalence に関する情報は quasicategory に含まれると考え, cofibration に関する情報を subcategory として指定することで定義している。 当然それらが同値なのかが気になるが, 実際 Fiore と Lück の論文の Proposition 4.3 で同値であることが示されている。

Campbell, Lind, Malkiewich, Ponto, Zakharevich [Cam+] の spectral 版もある。

• spectral Waldhausen category

最近の exact category の一般化として, Campbell と Zakharevich [CZ22] の CGW category があるが, その \(K\)-theory を定義するためには, Quillen の \(Q\)-construction の一般化を用いる。 CGW category に “weak equivalence” の情報を追加し, \(S\)-construction の拡張を定義できるようにしたものとして, Sarazola と Shapiro [SS] の ECGW category がある。

• ECGW category

References

[Bar16]

Clark Barwick. “On the algebraic \(K\)-theory of higher categories”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 245–347. arXiv: 1204.3607. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv042.

[Cam+]

Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate Ponto, and Inna Zakharevich. Spectral Waldhausen categories, the \(S_\bullet \)-construction, and the Dennis trace. arXiv: 2006.04006.

[CZ22]

Jonathan A. Campbell and Inna Zakharevich. “Dévissage and localization for the Grothendieck spectrum of varieties”. In: Adv. Math. 411.part A (2022), Paper No. 108710, 80. arXiv: 1811.08014. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108710.

[DAn+]

Francesco D’Andrea, Piotr M. Hajac, Tomasz Maszczyk, Albert Sheu, and Bartosz Zielinski. The \(K\)-theory type of quantum CW-complexes. arXiv: 2002.09015.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DLL]

Zhenxing Di, Liping Li, and Li Liang. Constructions of Waldhausen categories via Grothendieck opfibrations. arXiv: 2407.15607.

[Fio]

Thomas M. Fiore. Approximation in \(K\)-theory for Waldhausen Quasicategories. arXiv: 1303.4029.

[FP19]

Thomas M. Fiore and Malte Pieper. “Waldhausen additivity: classical and quasicategorical”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 109–197. arXiv: 1207.6613. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0206-6.

[Hov02]

Mark Hovey. “Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory”. In: Math. Z. 241.3 (2002), pp. 553–592. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00209-002-0431-9.

[Sal18]

Andrew Salch. “Relative homological algebra and Waldhausen \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 20.1 (2018), pp. 87–116. arXiv: 1303.3672. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2018.v20.n1.a7.

[Sar20]

Maru Sarazola. “Cotorsion pairs and a K-theory localization theorem”. In: J. Pure Appl. Algebra 224.11 (2020), pp. 106399, 29. arXiv: 1911.00613. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106399.

[SS]

Maru Sarazola and Brandon Shapiro. A Gillet-Waldhausen Theorem for chain complexes of sets. arXiv: 2107.07701.

[TT90]

R. W. Thomason and Thomas Trobaugh. “Higher algebraic \(K\)-theory of schemes and of derived categories”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 247–435. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_10.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.