Spectral Category

Tabuada は, [Tab09] で spectrum ( symmetric spectrum) の category で enrich された small category を spectral category と呼び, その ホモトピー代数を調べ始めた。 Blumberg と Mandell の [BM12] によると, (symmetric spectrum や) symmetric spectrum により enrich された category は, \(K\)-theory の文献ではもっと古くから考えられていたようであるが。

この spectral category という言葉は, 全く別の意味で Gabriel と Oberst により [GO66] で使われている。 Grothendieck Abelian category からある方法で構成される category である。 Dg category や topological category のように, 「〜」で enrich された category を表すときに, category の前に「〜」を形容詞にして付けるのが普通なので, spectral category は Tabuada の意味で使った方が良いと思う。

Dg category の代りに spectral category を考えることの理由の一つは, Shipley による dg algebra の category と Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の algebra の category との間の Quillen 同値が dg category と Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の module の category で enrich された spectral category の間の関係に一般化できることである。

これは, Blumberg と Mandell の [BM12] や Tabuada の [Tab10a] で述べられている。また, object の集合を fix した spectral catgory の category や, ある spectral category 上の module の model category については, Schwede と Shipley の [SS03] の§6にある monoidal model category で enrich された small category に関する結果から従う。

Object を fix しない spectral category 全体の category の model structure については, DK-equivalence を weak equivalence とするものは, Tabuada の [Tab09] で, object の集合の全単射と morphism spectrum の weak equivalence を与えるものを weak equivalence とするものについては, Blumberg と Mandell の [BM12] の Appendix で述べられている。

もちろん, spectral category が様々な場面で自然に現われるものであることも重要である。Tabuadaは, Kontsevich らの noncommutative algebraic geometry を念頭においているようである。 Kitchloo [Kit14] は, geometric quantization の定義域として, symplectic manifold を object とする spectral category を構成している。

Blumberg と Mandell [BM12] によると, spectral category に対する topological Hochschild homology の拡張は, Dundas と McCarthy [DM96] により得られた。 Topological cyclic homology なども定義できる。それらを用いてTabuada [Tab10a] は, dg category に対する topological Hochschild homology や topological cyclic homology を定義している。またそのような spectral category の additive invariant に対しては, “universal invariant” があることを [Tab10b] で示している。

References

[BM12]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Localization theorems in topological Hochschild homology and topological cyclic homology”. In: Geom. Topol. 16.2 (2012), pp. 1053–1120. arXiv: 0802.3938. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2012.16.1053.

[DM96]

Bjørn Ian Dundas and Randy McCarthy. “Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 109.3 (1996), pp. 231–294. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00089-5.

[GO66]

Peter Gabriel and Ulrich Oberst. “Spektralkategorien und reguläre Ringe im von-Neumannschen Sinn”. In: Math. Z. 92 (1966), pp. 389–395. url: https://doi.org/10.1007/BF01112218.

[Kit14]

Nitu Kitchloo. “The stable symplectic category and quantization”. In: Algebraic topology: applications and new directions. Vol. 620. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 251–279. arXiv: 1204.5720. url: https://doi.org/10.1090/conm/620/12369.

[SS03]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “Equivalences of monoidal model categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 287–334 (electronic). arXiv: math/0209342. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.287.

[Tab09]

Gonçalo Tabuada. “Homotopy theory of spectral categories”. In: Adv. Math. 221.4 (2009), pp. 1122–1143. arXiv: 0801.4524. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.01.014.

[Tab10a]

Gonçalo Tabuada. “Generalized spectral categories, topological Hochschild homology and trace maps”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.1 (2010), pp. 137–213. arXiv: 0804.2791. url: https://doi.org/10.2140/agt.2010.10.137.

[Tab10b]

Gonçalo Tabuada. “Matrix invariants of spectral categories”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 13 (2010), pp. 2459–2511. arXiv: 0902.3888.