Topological Hochschild Homology

誤解を恐れずに言えば, Hochschild homology の構成で associative ring を associative ring spectrum に変えて得られる spectrum が topological Hochschild homologyである。 どの論文で最初に定義されたのかはっきりしないが, topological Hochschild homology が発見された経緯については, Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Chapter IV の冒頭に詳しく書かれている。

一般には, 1990年代初頭 (1980年代後半?) に Bökstedt により考えられたということになっているが, Basterra と Mandell の [BM11] に書かれているように, 元々は Waldhausen によりその存在が予想されていたようである。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本では, 文献として Waldhausen の [Wal79] が参照されている。 そして, その Waldhausen の論文を見ると, 元になったのは K. Dennis の 1976年1月の Evanston での講演のようである。 ただ, Dundas と Goodwillie と McCarthy の本によると, Goodwillie は algebraic \(K\)-theory と Hochschild homology の間に “topological Hochschild homology” と呼ぶべきものが存在すると予想していたらしい。 その予想に合うものを定義したのが Bökstedt だったようである。

解説としては, その Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] が詳しい。 より短かい解説としては, May のlecture note [May] がある。 Richter の commutative ring spectrum の解説 [Ric22] の §6 にも簡単な解説がある。 Krause と Nikolaus の lecture note [KN] や Kaledin の monograph [Kal] もある。 最近の話題については, Mathew の overview [Mat22] を見るとよい。

現代的には, symmetric monoidal category になっている spectrum の category で cyclic bar construction で定義するのが普通, だと思う。

• cyclic nerve
• cyclic bar construction

他にも, Angeltveit [Ang08] による associahedra を用いた topological Hochschild (co)homology の構成もある。 また, Nikolaus と Scholz [NS18] による構成もある。

単に topological Hochschild homology が必要なだけなら, このような構成は必要ない。 このような構成が提案されているのは, topological Hochschild homology が topological cyclic homology の元になっているからである。 topological cyclic homology を定義するために必要な構造を持つように, 定義されているのである。

Angeltveit と Rognes は [AR05] で topological Hochschild homology の Hopf algebra structure について議論している。Gorenstein 性については Greenlees の [Gre16] で調べられている。

この Greenlees の論文の §5 には, ring spectrum の morphism \(R\to k\) により \(k\) を \(R\)-bimodule とみたときの \(R\) の \(k\) 係数 topological Hochschild homology の計算例がまとめられている。

基本は, 体 \(k\) の topological Hochschild homology \(\mathrm {THH}(k)\) だろう。\(k=\F _{p}\) の場合, 次数 \(2\) の元 \(\sigma \) により \[ \pi _{*}(\mathrm {THH}(k)) \cong k[\sigma ] \] となる。この元を Bökstedt periodicity element という。 Bökstedt により示されたからである。 その証明にはいくつかの方法があるが, まずは Fonarev と Kaledin の [FK] の Introduction を読むのが良いと思う。

• Bökstedt periodicity

もっとも, spectrum は位相空間を元に定義された概念なので, 位相空間に付随する ring spectrum もいろいろある。例えば, 有限CW複体 \(X\) の Spanier-Whitehead dual \(D(X)\) については, Malkiewich [Mal17] がその topological Hochschild homology を調べている。

Connective complex \(K\)-theory を素数 \(p\) でlocalize したときの Adams summand の場合, McClure と Staffeldt [MS93] により決定されている。彼等は periodic な Adams summand の場合も決定している。

Adams summand ではない, connective complex \(K\)-theory spectrum については, Ausoni が [Aus05] で調べているが, mod \((p,v_{1})\) での homotopy 群を決定しただけである。

Periodic complex \(K\)-theory spectrum については, Stonek [Sto20] が調べている。

Ring spectrum の many-objectification である spectral category への拡張は, Dundas と McCarthy [DM96] により得られた。Blumberg と Mandell の [BM12] も見るとよい。

• spectral category の topological Hochschild homology

Brun と Carlsson と Dundas [BCD10] によると, ring spectrum \(A\) が commutative な場合, topological Hochschild homology は functor \[ \Lambda (A) : \category {Top} \longrightarrow \category {Spectra} \] に拡張され, \(S^1\)の場合が topological Hochschild homology になる \[ \Lambda _{S^1}(A) \simeq \mathrm {THH}(A) \] らしい。その元になっているのは, commutative algebra の Hochschild complex の場合の Loday の結果 [Lod89] に基づいた, 所謂 higher order Hochschild complex であるが。Ring spectrum の場合に構成したのは, Brun と Carlsson と Dundas [BCD10] のようである。 そして, \(S^n\) を入れた場合のものを higher topological Hochschild homology という。Schlichtkrull [Sch11] が Thom spectrum の場合を調べている。

• higher order Hochschild (co)homology

McClure と Schwänzl と Vogt [MSV97] による \(\mathrm {THH}(A)\simeq A\otimes S^1\) という記述もある。

Brun と Fiedorowicz と Vogt は [BFV07] で \(E_n\)-ring spectrum の topological Hochschild homology が \(E_{n-1}\)-ring spectrum の構造を持つことを示している。よって, \(E_n\)-ring spectrum に対しては, topological Hochschild homology を\(n\)回繰り返して適用することができる。ただし, Brun と Fiedorowicz と Vogt の方法では, topological Hochschild homology を繰り返すためには, そのつど同値な spectrum で取り替えないといけないが, Basterra と Mandell [BM11] はその操作を不要にする構成を考えている。

Topological Hochschild homology と Thom spectrum との関係が, Blumberg と Ralph Cohen と Schilichtkrull [BCS10] により調べられている。その応用として, \(\mathrm {ko}\) や \(\mathrm {ku}\) が Thom spectrum ではないことを証明したのが Angeltveit と Hill と Lawson の [AHL09] である。また Basu [Bas17] は, Ando らの一般化された Thom spectrum [And+] の topological Hochschild homology が Thom spectrum として表されることを示している。

Blumberg と Mandell [BM20] は, topological Hochschild homology を simplicial Waldhausen category に拡張している。その目的は, algebraic \(K\)-theory の持つ localization などの性質と topological Hochschild homology の性質を比較するためである。彼らは, quasicategory を algebraic \(K\)-theory と topological Hochschild homology の共通の input として使うことも考えているようである。

この algebraic \(K\)-theory と (topological) Hochschild homology の関係は, algebraic \(K\)-theory から topological Hochschild homology への, 所謂, trace map により与えられる。これは topological cyclic homology を factor し, それにより algebraic \(K\)-theory のことがよく分かるようである。 そして, topological cyclic homology の構成のためには, topological Hochschild homology 上に cyclotomic structure という構造が必要になる。

• topological cyclic homology
• cyclotomic spectrum
• Dennis trace map

この辺のことについては, Angeltveit らの [Ang+18]の Introduction に詳しく書かれている。また, これらに関することをまとめた本が Dundas と Goodwillie と McCarthy の [DGM13]である。

最近の話題についての overview である Mathew の [Mat22] の主題は, Bhatt, Morrow, Scholze [BMS19] による motivic filtration である。

• motivic filtration

一般化としては, Rognesら [Rog09; RSS15] の logarithmic topological Hochschild homology もある。

• logarithmic topological Hochschild homology

Kato の logarithmic geometry [Kat89] とホモトピー論を関係付けようというものらしい。 Pre-log ring spectrum という commutative symmetric spectrum に情報を付加したものに対して定義される。 Sagave と Schlichtkrull の [RSS18] では, topological \(K\)-theory spectrum の場合が調べられている。

“Real”版については, Hesselholt と Madsen の “real algebraic \(K\)-theory” に書いてある。 この ページから downloadできる。 Anti-involution を持つ環や ring spectrum \(R\) から, \(O(2)\)-equivariant spectrum \(\mathrm {THR}(R)\) を作る構成である。 包含 \(S^{1}=\mathrm {SO}(2)\subset O(2)\) により得られる \(S^{1}\)-spectrum が \(\mathrm {THH}(R)\) になる。

• real topological Hochschild homology

定義は, Dotto の thesis [Dot]や Høgenhaven の論文 [Høgb; Høga] にも書かれている。 Dotto ら [Dot+21] は, より近代的な構成を与えている。 そこでは, \(\mathrm {THR}(\F _{p})\) や \(\mathrm {THR}(\Z )[\frac {1}{2}]\) が決定されている。

Hochschild homology の定義で, algebra を coalgebra に変え, bar construction を cobar construction に変えたものとして, Cartier homology あるいは coHochschild homology と呼ばれるものがある。 その topological version もある。Bohmann ら [Boh+18] によると, Hess と Shipley により導入されたらしい。その論文は, [HS21] のようである。

• topological coHochschild homology

Bayındır と Péroux [BP] はその構成を \((\infty ,1)\)-category に一般化している。

変種としては, Angeltveit ら [Ang+18] による twisted topological Hochschild homology というものもある。

• twisted topological Hochschild homology

Adamyk ら [Ada+22] がその計算のための道具を考えている。

References

[Ada+22]

Katharine Adamyk, Teena Gerhardt, Kathryn Hess, Inbar Klang, and Hana Jia Kong. “Computational tools for twisted topological Hochschild homology of equivariant spectra”. In: Topology Appl. 316 (2022), Paper No. 108102, 26. arXiv: 2001 . 06602. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108102.

[AHL09]

Vigleik Angeltveit, Michael A. Hill, and Tyler Lawson. “The spectra \(ko\) and \(ku\) are not Thom spectra: an approach using \(THH\)”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 1–8. arXiv: 0810.2585. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.1.

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[Ang+18]

Vigleik Angeltveit et al. “Topological cyclic homology via the norm”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 2101–2163. arXiv: 1401.5001.

[Ang08]

Vigleik Angeltveit. “Topological Hochschild homology and cohomology of \(A_{\infty }\) ring spectra”. In: Geom. Topol. 12.2 (2008), pp. 987–1032. arXiv: math/0612164. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.987.

[AR05]

Vigleik Angeltveit and John Rognes. “Hopf algebra structure on topological Hochschild homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 1223–1290 (electronic). arXiv: math / 0502195. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.1223.

[Aus05]

Christian Ausoni. “Topological Hochschild homology of connective complex \(K\)-theory”. In: Amer. J. Math. 127.6 (2005), pp. 1261–1313. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v127/127.6ausoni.pdf.

[Bas17]

Samik Basu. “Topological Hochschild homology of \(K/p\) as a \(K_p^\wedge \) module”. In: Homology Homotopy Appl. 19.1 (2017), pp. 253–280. arXiv: 1006. 4347. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2017.v19.n1.a13.

[BCD10]

Morten Brun, Gunnar Carlsson, and Bjørn Ian Dundas. “Covering homology”. In: Adv. Math. 225.6 (2010), pp. 3166–3213. arXiv: 0706.0626. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.05.018.

[BCS10]

Andrew J. Blumberg, Ralph L. Cohen, and Christian Schlichtkrull. “Topological Hochschild homology of Thom spectra and the free loop space”. In: Geom. Topol. 14.2 (2010), pp. 1165–1242. arXiv: 0811.0553. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.1165.

[BFV07]

Morten Brun, Zbigniew Fiedorowicz, and Rainer M. Vogt. “On the multiplicative structure of topological Hochschild homology”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1633–1650. arXiv: math/ 0410367. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1633.

[BM11]

Maria Basterra and Michael A. Mandell. “Homology of \(E_n\) ring spectra and iterated \(THH\)”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.2 (2011), pp. 939–981. arXiv: 1007.5315. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.939.

[BM12]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Localization theorems in topological Hochschild homology and topological cyclic homology”. In: Geom. Topol. 16.2 (2012), pp. 1053–1120. arXiv: 0802.3938. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2012.16.1053.

[BM20]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Localization for \(THH(ku)\) and the topological Hochschild and cyclic homology of Waldhausen categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 265.1286 (2020), pp. v+100. arXiv: 1111.4003. url: https://doi.org/10.1090/memo/1286.

[BMS19]

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, and Peter Scholze. “Topological Hochschild homology and integral \(p\)-adic Hodge theory”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 129 (2019), pp. 199–310. arXiv: 1802.03261. url: https://doi.org/10.1007/s10240-019-00106-9.

[Boh+18]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Amalie Høgenhaven, Brooke Shipley, and Stephanie Ziegenhagen. “Computational tools for topological coHochschild homology”. In: Topology Appl. 235 (2018), pp. 185–213. arXiv: 1706 . 01908. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2017.12.008.

[BP]

Haldun Özgür Bayındır and Maximilien Péroux. Spanier-Whitehead duality for topological coHochschild homology. arXiv: 2012.03966.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DM96]

Bjørn Ian Dundas and Randy McCarthy. “Topological Hochschild homology of ring functors and exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 109.3 (1996), pp. 231–294. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00089-5.

[Dot]

Emanuele Dotto. Stable real \(K\)-theory and real topological Hochschild homology. arXiv: 1212.4310.

[Dot+21]

Emanuele Dotto, Kristian Moi, Irakli Patchkoria, and Sune Precht Reeh. “Real topological Hochschild homology”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 23.1 (2021), pp. 63–152. arXiv: 1711.10226. url: https://doi.org/10.4171/jems/1007.

[FK]

A. Fonarev and D. Kaledin. Bökstedt periodicity generator via \(K\)-theory. arXiv: 2107.03753.

[Gre16]

J. P. C. Greenlees. “Ausoni-Bökstedt duality for topological Hochschild homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.4 (2016), pp. 1382–1402. arXiv: 1406. 2162. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.09.007.

[Høga]

Amalie Høgenhaven. On the geometric fixed points of real topological Hochschild homology. arXiv: 1710.01817.

[Høgb]

Amalie Høgenhaven. Real topological cyclic homology of spherical group rings. arXiv: 1611.01204.

[HS21]

Kathryn Hess and Brooke Shipley. “Invariance properties of coHochschild homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 225.2 (2021), Paper No. 106505, 27. arXiv: 1811 . 06508. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106505.

[Kal]

D. Kaledin. Trace theories, Bokstedt periodicity and Bott periodicity. arXiv: 2004.04279.

[Kat89]

Kazuya Kato. “Logarithmic structures of Fontaine-Illusie”. In: Algebraic analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988). Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 1989, pp. 191–224.

[KN]

Achim Krause and Thomas Nikolaus. Lectures on Topological Hochschild Homology and Cyclotomic Spectra. url: https://www.uni-muenster.de/IVV5WS/WebHop/user/nikolaus/Papers/Lectures.pdf.

[Lod89]

Jean-Louis Loday. “Opérations sur l’homologie cyclique des algèbres commutatives”. In: Invent. Math. 96.1 (1989), pp. 205–230. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01393976.

[Mal17]

Cary Malkiewich. “Cyclotomic structure in the topological Hochschild homology of \(DX\)”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.4 (2017), pp. 2307–2356. arXiv: 1505.06778. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.2307.

[Mat22]

Akhil Mathew. “Some recent advances in topological Hochschild homology”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 54.1 (2022), pp. 1–44. arXiv: 2101.00668. url: https://doi.org/10.1112/blms.12558.

[May]

J.P. May. Topological Hochschild and cyclic homology and algebraic \(K\)-theory. url: http://www.math.uchicago.edu/~may/TALKS/THHTC.pdf.

[MS93]

J. E. McClure and R. E. Staffeldt. “On the topological Hochschild homology of \(b\mathrm {u}\). I”. In: Amer. J. Math. 115.1 (1993), pp. 1–45. url: https://doi.org/10.2307/2374721.

[MSV97]

J. McClure, R. Schwänzl, and R. Vogt. “\(THH(R)\cong R\otimes S^{1}\) for \(E_{\infty }\) ring spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 121.2 (1997), pp. 137–159. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00118-7.

[NS18]

Thomas Nikolaus and Peter Scholze. “On topological cyclic homology”. In: Acta Math. 221.2 (2018), pp. 203–409. arXiv: 1707. 01799. url: https://doi.org/10.4310/ACTA.2018.v221.n2.a1.

[Ric22]

Birgit Richter. “Commutative ring spectra”. In: Stable categories and structured ring spectra. Vol. 69. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2022, pp. 249–299. arXiv: 1710.02328.

[Rog09]

John Rognes. “Topological logarithmic structures”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 401–544. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.401.

[RSS15]

John Rognes, Steffen Sagave, and Christian Schlichtkrull. “Localization sequences for logarithmic topological Hochschild homology”. In: Math. Ann. 363.3-4 (2015), pp. 1349–1398. arXiv: 1402.1317. url: https://doi.org/10.1007/s00208-015-1202-3.

[RSS18]

John Rognes, Steffen Sagave, and Christian Schlichtkrull. “Logarithmic topological Hochschild homology of topological \(K\)-theory spectra”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 20.2 (2018), pp. 489–527. arXiv: 1410.2170. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/772.

[Sch11]

Christian Schlichtkrull. “Higher topological Hochschild homology of Thom spectra”. In: J. Topol. 4.1 (2011), pp. 161–189. arXiv: 0811.0597. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtq037.

[Sto20]

Bruno Stonek. “Higher topological Hochschild homology of periodic complex K-theory”. In: Topology Appl. 282 (2020), pp. 107302, 43. arXiv: 1801.00156. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2020.107302.

[Wal79]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of topological spaces. II”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 356–394.