Weak Kan complex あるいは quasicategory

Weak Kan complex あるいは quasicategory というのは, Kan complex より少し弱い extension property を持つ simplicial set のことである。Kan complex と small categoryのnerve としてできる simplicial set の両方を含む simplicial set の class である。

Joyal と Tierney の [JT07] によると, Boardman と Vogt [BV73] により weak Kan complex として導入された概念らしい。 Joyal の quasicategory [Joy02] と同じものである。 今では quasicategory と呼ばれることが多いので, ここでは, quasicategory と呼ぶことにする。

Quasicategory を最も積極的に使おうとしているのは, Lurie だろう。 “Higher Topos Theory” という本 [Lur09] を書いている。 ArXiv にも [Lur] としてあるが, Lurieのweb site からより新しい version が download できるので, そちらを見た方がよい。 ページ数が多いので読むのは大変そうに思えるが, 説明はとても分かりやすい。

Lurie は, quasicategory が small category の nerve としてできる simplicial set を含むことに着目し, (small) category の一般化として用いることを提案している。そのため, quasicategory のことを \(\infty \)-category と呼んでる。 ただ, quasicategory は, 色々ある \((\infty ,1)\)-category のモデルの1つに過ぎないので, quasicategory と呼んだ方が良いと思う。

• \((\infty ,1)\)-category

Lurie は, AMS の機関誌 Notices の “WHAT IS \(\ldots \)” のシリーズで解説 [Lur08] を書いている。 より長いものとしては, Groth の [Gro20] がある。これは, 証明抜きに Lurie の仕事の主要な結果と関連したことをまとめたものである。 Riehl と Verity [RV15] は category theory の一般化として quasicategory の理論を再構築しようとしている。例えば quasicategory の成す 2-category が構成されている。

Kan complex は, simplicial set の category の Quillen model structure での fibrant object であるが, Joyal は, quasicategory が fibrant object と一致する model structure が simplicial set の圏に定義できることを示した。 Joyal の nLab のページ [Joyb] では, natural model structure と呼ばれている。 350 ページもあるlecture note [Joya] の Chapter 6 は, このことについて書かれている。 そして, Lurie の“Higher Topos Theory’’ の §2.2.5 も見るべきだろう。

• simplicial set の圏の Joyal (natural) model structure

Lurie は quasicategory を \((\infty ,1)\)-category のモデルとして使おうとしているわけであるが, simplicial category や complete Segal space など, 他にもその目的のために使えるものは色々ある。

• homotopy theory of homotopy theories

Quasicategory と simplicial category の対応としては, Lurie のものの他に, Dugger と Spivak の [DS11] もある。

Quasicategory が enhanced triangulated category のモデルとしても使えることは興味深い。

• stable \((\infty ,1)\)-category

Blumberg と Gepner は, Ando, Hopkins, Rezk と [And+] で Thom spectrum と orientation の理論は quasicategory を用いて構築するのがよい, と主張している。

低次元トポロジーへの応用も考えられている。 Gauthier [Gau] は \(4\)次元多様体を morphism とする Kirby category の \((\infty ,1)\)-version などを定義し, \(\infty \)-braid や \(\infty \)-link などを考えている。

Simplcial set でできることは, 基本的には cubical set でもできるはずであるが, 実際 quasicategory の cubical 版もある。 定義は, [Doh+] の46ページにある。

• cubical quasicategory

Algebraic \(K\)-theory のために, Waldhausen category の quasicategory 版も考えられている。Barwick の [Bar16], Fiore と Lück の [FP19], そして Fiore の [Fio] など。 微妙に定義は違っているようであるが。

• Waldhausen quasicategory

Quasi-\(n\)-category という \((\infty ,n)\)-category のモデルを定義しているのは, Ara [Ara14] である。

Lowen と Mertens [LM] は, monoidal structure が categorical product であるとは限らない monoidal category での quasicategory の類似を定義するために, templicial object という構造を用いることを提案している。

References

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[Ara14]

Dimitri Ara. “Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 701–749. arXiv: 1206 . 4354. url: https://doi.org/10.1017/S1865243315000021.

[Bar16]

Clark Barwick. “On the algebraic \(K\)-theory of higher categories”. In: J. Topol. 9.1 (2016), pp. 245–347. arXiv: 1204 . 3607. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv042.

[BV73]

J. M. Boardman and R. M. Vogt. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347. Berlin: Springer-Verlag, 1973, pp. x+257.

[Doh+]

Brandon Doherty, Chris Kapulkin, Zachery Lindsey, and Christian Sattler. Cubical models of \((\infty , 1)\)-categories. arXiv: 2005.04853.

[DS11]

Daniel Dugger and David I. Spivak. “Rigidification of quasi-categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.1 (2011), pp. 225–261. arXiv: 0910.0814. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.225.

[Fio]

Thomas M. Fiore. Approximation in \(K\)-theory for Waldhausen Quasicategories. arXiv: 1303.4029.

[FP19]

Thomas M. Fiore and Malte Pieper. “Waldhausen additivity: classical and quasicategorical”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 109–197. arXiv: 1207.6613. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0206-6.

[Gau]

Renaud Gauthier. Infinity Links \(L\), infinity-4-Manifolds \(M_L\) and Kirby Categories. arXiv: 1309.7514.

[Gro20]

Moritz Groth. “A short course on \(\infty \)-categories”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, [2020] ©2020, pp. 549–617. arXiv: 1007.2925.

[Joya]

André Joyal. The Theory of Quasi-Categories and its Applications. url: https://mat.uab.cat/~kock/crm/hocat/advanced-course/Quadern45-2.pdf.

[Joyb]

Andre Joyal. Model structures on Cat. url: https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Model+structures+on+Cat.

[Joy02]

A. Joyal. “Quasi-categories and Kan complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 207–222. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00135-4.

[JT07]

André Joyal and Myles Tierney. “Quasi-categories vs Segal spaces”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 277–326. arXiv: math/0607820.

[LM]

Wendy Lowen and Arne Mertens. Enriched quasi-categories and the templicial homotopy coherent nerve. arXiv: 2302.02484.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Topos Theory. arXiv: math/0608040.

[Lur08]

Jacob Lurie. “What is \(\dots \) an \(\infty \)-category?” In: Notices Amer. Math. Soc. 55.8 (2008), pp. 949–950.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[RV15]

Emily Riehl and Dominic Verity. “The 2-category theory of quasi-categories”. In: Adv. Math. 280 (2015), pp. 549–642. arXiv: 1306.5144. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.04.021.