(∞,n)-category

高次の圏のうち, 最近最も popular なのは, quasicategory などを用いた \((\infty ,1)\)-category だろう。

• \((\infty ,1)\)-category

しかし \((\infty ,1)\)-category では, 高次の射が全て “invertible” になっているので, 通常の category に“高次の isomorphism” を追加されているだけであり, 本質的には, object と \(1\)-morphism からできているものである。

本物の高次の圏のモデルとして, \((\infty ,n)\)-category, つまり \((n+1)\)-morphism 以上が全て invertible になっているものが, 色々考えられている。 例えば, Lurie は Goodwillie calculus [Lura] や topological quantum field theory [Lur09] などのために使うことを考えている。他の用途としては, Haugseng [Hau18] による iterated span の成す category の構成がある。 これも topological quantum field theory に関係したものであるが。

\((\infty ,n)\)-category の中でも, \((\infty ,2)\)-category はかなり一般的になってきた。

• \((\infty ,2)\)-category

\((\infty ,1)\)-category に対しては, quasicategory や complete Segal space など複数のモデルがあるが, 当然 \((\infty ,n)\)-category も様々なモデルがある。 complete Segal space の高次化であるが, quasicategory の高次化などもある。

• higher complete Segal space
• iterated Segal space [Bar05]
• \(\Theta _{n}\)-space [Rez10]
• quasi-\(n\)-category [Ara14]
• higher Segal category [Sch14]
• complicial space [Rie18]

これらの model が algebraic ではないことを指摘し, algebraic な model を提案しているのは, Kachour の [Kac15] である。

これらは, simplicial set に基いたものであるが, cubical set に基いたも のもある。 Kachour の [Kac14] や Campion, Kapulkin, Maehara の [CKM] など。

\((\infty ,n)\)-category の解説やこれらのモデルの比較も色々登場している。 例えば次のようなものがある。

• Lurie の本 [Lurb]
• Simpson の本 [Sim12] やその arXiv 版 [Sim]
• Schommer-Pries の lecture notes [Sch14]
• Bergner による様々なモデルの survey [Ber20]

このような \((\infty ,n)\)-category のモデルについて, Toën の \((\infty ,1)\)-category の category の特徴付けを拡張しようというのが, この \(n\)-Category Café の post で紹介されている Barwick と Schommer-Pries の [BS21] である。 そこには, その公理をみたす \((\infty ,n)\)-category のモデルの例も色々挙げられている。 \((\infty ,n)\)-category の成す \((\infty ,1)\)-category の構造についても考えられている。

Bergner と Rezk [BR20] は, \((\infty ,n)\)-category で enrich されたものが \((\infty ,n+1)\)-category である, という当然成り立ちそうなことを, 正確に述べて証明している。

coCartesian fibration については, Nuiten [Nui24] が調べている。

この MathOverflow の質問に対する Lurie の回答にあるように, \((\infty ,n)\)-category でも monoidal structure を考える方法はいくつかある。

• monoidal \((\infty ,n)\)-category
• symmetric monoidal \((\infty ,n)\)-category

\(n=\omega \) の場合を考えている人もいる。Loubaton [Lou] は complicial set を使うことを提案している。

• \((\infty ,\omega )\)-category

References

[Ara14]

Dimitri Ara. “Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 701–749. arXiv: 1206.4354. url: https://doi.org/10.1017/S1865243315000021.

[Bar05]

Clark Barwick. \((\infty , n)\)-Cat as a closed model category. Thesis (Ph.D.)–University of Pennsylvania. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2005, p. 48. isbn: 978-0542-00534-3.

[Ber20]

Julia E. Bergner. “A survey of models for \((\infty , n)\)-categories”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, [2020] ©2020, pp. 263–295. arXiv: 1810.10052.

[BR20]

Julia E. Bergner and Charles Rezk. “Comparison of models for \((\infty , n)\)-categories, II”. In: J. Topol. 13.4 (2020), pp. 1554–1581. arXiv: 1406.4182. url: https://doi.org/10.1112/topo.12167.

[BS21]

Clark Barwick and Christopher Schommer-Pries. “On the unicity of the theory of higher categories”. In: J. Amer. Math. Soc. 34.4 (2021), pp. 1011–1058. arXiv: 1112.0040. url: https://doi.org/10.1090/jams/972.

[CKM]

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[Hau18]

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[Kac14]

Camell Kachour. “Aspects of globular higher category theory”. In: Bull. Aust. Math. Soc. 90.1 (2014), pp. 172–173. arXiv: 1702.00336. url: https://doi.org/10.1017/S0004972714000288.

[Kac15]

Camell Kachour. “An algebraic definition of \((\infty ,N)\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 22, 775–807. arXiv: 1208.0660.

[Lou]

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[Lurb]

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[Lur09]

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[Nui24]

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Charles Rezk. “A Cartesian presentation of weak \(n\)-categories”. In: Geom. Topol. 14.1 (2010), pp. 521–571. arXiv: 0901.3602. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.521.

[Rie18]

Emily Riehl. “Complicial sets, an overture”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 49–76. arXiv: 1610.06801.

[Sch14]

Christopher J. Schommer-Pries. “Dualizability in low-dimensional higher category theory”. In: Topology and field theories. Vol. 613. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 111–176. arXiv: 1308.3574. url: https://doi.org/10.1090/conm/613/12237.

[Sim]

Carlos T. Simpson. Homotopy theory of higher categories. arXiv: 1001.4071.

[Sim12]

Carlos Simpson. Homotopy theory of higher categories. Vol. 19. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2012, pp. xviii+634. isbn: 978-0-521-51695-2.