Span と Cospan

ある category \(\bm{C}\) の span とは, object は \(\bm{C}\) と同じで, \(X\) から \(Y\) への morphism を, 図式 \[ X \larrow{f} Z \rarrow{g} Y \] としてできる category である。

Morton の [Mor09] や Street らの [PS07] では Bénabou の [Bén67] が参照されている。 Carboni らの [CKS84] もある。

Span については, Baez の この \(n\)-Category Café の post で bimodule との関係がクイズ形式で述べられている。

もちろん, その dual として cospan もある。

• cospan

Grandis は cobordism category のようなものを扱うための構造として, cospan, そしてその高次元版を [Gra07b; Gra07a; Gra08] で考えている。

これらの文献にもあるように, span の category は bicategoryとみなすのが自然なようである。

普通の morphism だけでは足りなくて, span や cospan を考えなければならない状況は, 様々な分野で起こる。例えば, Lindner [Lin76] や Street ら [PS07] によると, Mackey functor を考える際には, span が本質的である。

Symplectic多様体の成す category を考えるときも, Lagrangian submanifold で与えられる span を考える必要があるようである。Wehrheim と Woodward の [WW10] や Weinstein の [Wei10; Wei11] など。

References

[Bén67]

Jean Bénabou. “Introduction to bicategories”. In: Reports of the Midwest Category Seminar. Berlin: Springer, 1967, pp. 1–77.

[CKS84]

Aurelio Carboni, Stefano Kasangian, and Ross Street. “Bicategories of spans and relations”. In: J. Pure Appl. Algebra 33.3 (1984), pp. 259–267. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(84)90061-6.

[Gra07a]

Marco Grandis. “Collared cospans, cohomotopy and TQFT (cospans in algebraic topology. II)”. In: Theory Appl. Categ. 18 (2007), No. 19, 602–630.

[Gra07b]

Marco Grandis. “Higher cospans and weak cubical categories (cospans in algebraic topology. I)”. In: Theory Appl. Categ. 18 (2007), No. 12, 321–347.

[Gra08]

Marco Grandis. “Cubical cospans and higher cobordisms (cospans in algebraic topology. III)”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 273–308. arXiv: 0806.2359.

[Lin76]

Harald Lindner. “A remark on Mackey-functors”. In: Manuscripta Math. 18.3 (1976), pp. 273–278.

[Mor09]

Jeffrey C. Morton. “Double bicategories and double cospans”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 4.1 (2009), pp. 389–428. arXiv: math/0611930.

[PS07]

Elango Panchadcharam and Ross Street. “Mackey functors on compact closed categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 261–293. arXiv: 0706.2922.

[Wei10]

Alan Weinstein. “Symplectic categories”. In: Port. Math. 67.2 (2010), pp. 261–278. arXiv: 0911.4133. url: http://dx.doi.org/10.4171/PM/1866.

[Wei11]

Alan Weinstein. “A note on the Wehrheim-Woodward category”. In: J. Geom. Mech. 3.4 (2011), pp. 507–515. arXiv: 1012.0105. url: http://dx.doi.org/10.3934/jgm.2011.3.507.

[WW10]

Katrin Wehrheim and Chris T. Woodward. “Functoriality for Lagrangian correspondences in Floer theory”. In: Quantum Topol. 1.2 (2010), pp. 129–170. arXiv: 0708.2851. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/4.